约瑟夫·傅里叶

一根烧红的铁棒放在空气里，热怎么从热的一端跑到冷的一端？

这个问题在 1800 年前后没有答案。牛顿力学处理的是质点的轨迹，而热的传播是一个连续分布的量在空间中随时间演化——那是一类全新的问题，需要一套全新的数学。

傅里叶造出了那套数学。而他造它的动机，从头到尾是物理。

从孤儿到省长

傅里叶生于欧塞尔一个裁缝家庭，九岁成了孤儿，由本笃会修道院收养。大革命期间他卷入政治，两度被捕，据他自己的记述有一次已经离断头台不远。

他随拿破仑远征埃及，做过下埃及的行政长官，参与创办开罗研究院。回国后被任命为伊泽尔省省长，驻格勒诺布尔——修路、排沼泽、管税收。

热传导的研究是他在这些行政工作之余做的。

一篇被退回的论文

1807 年他向法国科学院提交了热传导的论文。核心是两件事。

第一件是那条热传导方程：某一点的温度变得多快，由温度在空间里的二阶导数决定。在此之前，物理方程写的都是质点怎么走；这是第一条描述连续场如何演化的方程，麦克斯韦方程与薛定谔方程都是同一个形状的后代。

第二，为了解这个方程，他提出了一个惊人的主张：任何函数都可以展开成正弦与余弦的无穷级数。

第二点让论文被退了回来。评委是拉格朗日、拉普拉斯、勒让德——都是当时最好的分析学家。拉格朗日坚决反对：三角级数怎么可能表示一个有折角、甚至不连续的函数？在他们看来这既没有证明，也不像是对的。

傅里叶没有让步。他的底气来自物理：他知道一根铁棒的初始温度分布可以是任何形状，而热传导方程必须能处理它。1811 年修改后的版本得了科学院大奖，评委在评语里仍然保留了对严格性的批评。直到 1822 年，他才把全部工作写成《热的解析理论》出版。

后来的发展说明两边都有道理：拉格朗日的顾虑不是无理取闹，傅里叶的直觉也确实对。把「任何函数」这四个字讲清楚，数学界花掉了整整一个世纪，而现代分析学里函数、收敛、积分这几个概念的样子，正是在那一个世纪里被重新定下来的。

别人拿它去做什么

傅里叶自己关心的始终是热。这套数学后来跑到多远，他没能看到。

最早接手的两个人都在他生前：开尔文十六岁读的就是《热的解析理论》，后来称它为「一首伟大的数学诗」；欧姆 1827 年写电路理论时，干脆把他处理热流的整套框架搬了过去——电势之于电流，正如温度之于热流。

再往后就收不住了。量子力学的位置表象与动量表象靠它互换，固体物理整个搬进了倒空间，透镜成像本质上是一次变换，而 JPEG、MP3、核磁共振成像用的都是同一件工具。

顺手写下的温室效应

1824 年，傅里叶做了一个粗略的估算：如果地球只靠太阳辐射加热、再向太空辐射散热，平衡温度应当比实测低得多。

他的结论是大气必定起了某种保温作用——让可见光进来，却拦住一部分向外的热辐射。他把这个效应比作一个盖着玻璃的箱子。

这是温室效应最早的论述。丁达尔 1859 年测出了具体是哪些气体在吸收红外，阿伦尼乌斯 1896 年算出了二氧化碳浓度加倍会让地表升温几度。1967 年真锅淑郎把这笔账做成了能算的物理模型，答案是 2.3 度；这条线在 2021 年拿到了诺贝尔物理学奖。今天整个气候科学，起点是一位省长在处理完公文之后写下的一段估算。