当时的困境
牛顿力学处理的是质点：给定初始位置与速度，算出轨迹。这套办法对行星、炮弹、摆都管用。
但十八世纪末的物理学开始碰到另一类问题：一个连续分布的量在空间中随时间演化。一根一端烧红的铁棒，温度沿棒长的分布怎么随时间变化？这里没有质点可追踪，要算的是整根棒上每一点的温度。
难点是双重的。首先要写出方程——描述场而不是粒子的方程，当时还没有先例。其次要解它，而初始的温度分布可以是任何形状：一半热一半冷、中间一个尖峰、锯齿状，什么都行。没有哪种现成的函数能覆盖这些情况。
洞见时刻
傅里叶做了两件事。
第一，他写下了热传导方程：温度随时间的变化率正比于温度的空间二阶曲率。哪里的温度曲线向上凹，那里就在升温。这是物理学史上第一个偏微分方程形式的场方程。
第二，为了解它，他提出了那个引起争议的主张：任何形状的分布，都可以展开成正弦与余弦的无穷叠加。
这一步为什么管用，在于正弦函数对热传导方程的特殊地位。把一条正弦形的温度分布代进方程，解出来还是同样形状的正弦，只是振幅按指数衰减——而且波长越短，衰减越快。正弦是这个方程的”本征模式”。
于是解法变得机械：把任意初始分布拆成正弦的叠加，让每个分量各自按自己的速率衰减，再加回去。一个难解的偏微分方程，变成了一堆彼此独立的简单问题。
1807 年他提交论文时，评委拉格朗日、拉普拉斯、勒让德不接受第二点——一个有折角、甚至不连续的函数怎么可能由光滑的正弦叠加出来？论文被退。傅里叶的底气来自物理：他知道铁棒的初始温度可以是任何形状，方程必须能处理。
涟漪效应
拉格朗日的疑虑并非无理取闹。要把”任何函数”说清楚，需要狄利克雷、黎曼、勒贝格接力一个世纪，顺带逼出了现代分析学中函数、收敛、积分这些概念的重新定义；集合论的一部分动机也来自这里。
而在物理这边，这套工具迅速扩散。
欧姆 1827 年写电路理论时，直接把傅里叶的框架搬了过来：电势之于电流，正如温度之于热流。开尔文十六岁读的就是《热的解析理论》，他称之为”一首伟大的数学诗”。麦克斯韦、瑞利、玻尔兹曼处理波动与统计问题时用的都是它。
最深的一层出现在量子力学里。位置表象与动量表象之间的变换，就是傅里叶变换。而傅里叶分析有一条纯数学的性质：一个函数与它的傅里叶变换不能同时都很窄——把一个波包在空间上压缩，它在波数上就必然展宽。
不确定性原理的数学内容，就是这一条。 海森堡 1927 年给出的 ，本质上是傅里叶对偶加上德布罗意关系 。
如果没有它
固体物理几乎完全活在傅里叶空间里：晶体的周期性让倒空间成为自然的工作场所，能带结构、布里渊区、X 射线衍射图样都在那里描述。光学里，一片透镜对光场做的事本质上就是一次傅里叶变换。
工程上更是无处不在。JPEG 把图像分块做余弦变换，扔掉人眼不敏感的高频分量；MP3 对声音做同样的事。手机基带、Wi-Fi 的正交频分复用、雷达信号处理、地震波分析，底层都是快速傅里叶变换。核磁共振成像收到的原始数据就是傅里叶空间里的数据，做一次逆变换才变成人体的图像。
1965 年库利与图基发表快速算法，把计算量从 N² 降到 N log N，这条算法常被列为二十世纪最重要的算法之一。
一个省长为了算清热怎么在铁棒里传而造出的工具，最后成了整个现代技术的通用语言。