伯恩哈德·黎曼

1854 年 6 月 9 日，星期五中午，哥廷根。高斯病得很重，重到「人们担心他活不过这一年」，本想把这个年轻人的就职答辩推到八月。经不住反复恳求，他突然改了主意——用他自己的说法，是为了把这桩事从脖子上甩掉——把答辩定在第二天上午十点半。

于是那场演讲是前一天中午才临时通知的，星期六一点钟结束。听众是哥廷根哲学系的全体教员，大多数不懂数学。整篇讲稿里只写出了一个公式。六十一年后，爱因斯坦写下广义相对论场方程时用的，正是这四十分钟里搭起来的那套语言。

注册的是神学

黎曼 1826 年 9 月 17 日生在汉诺威王国的布雷塞伦茨，路德宗牧师的儿子，六个孩子里的老二。家里一直很穷，他一生的健康问题大半可以追到童年的营养不良。

吕内堡的约翰纳乌姆文理中学时期，校长施马尔富斯把自己的数学书借给他，常常惊讶地发现他几天就读完了，而且是完全消化——传说里那本是勒让德的《数论》，八百多页，他六天还回来，说「这是一本了不起的书，我已经掌握了」。

1846 年 4 月 25 日他进哥廷根大学，注册的专业是语文学与神学：父亲希望他继承牧师的职位。他一边上神学课，一边去听斯特恩的方程数值解和戈尔德施密特的地磁学。父亲后来同意他改学数学。

柏林的两年

1847 年复活节他转学柏林，在那里待了两年，听狄利克雷的数论与偏微分方程、雅可比的分析力学与高等代数，和艾森斯坦讨论复变函数该建立在什么基础上。1848 年 3 月革命爆发，二十一岁的他作为学生队的一员在柏林王宫值守，从 3 月 24 日上午九点一直站到次日下午一点。

1849 年复活节回哥廷根后，让他最感兴趣的课是威廉·韦伯的实验物理。这一点值得停一下：在哥廷根和柏林，黎曼听的物理课和物理研讨班比数学课还多。他后来所有的数学工作都带着这个来源。

1850 年 11 月，二十四岁的他为教育学研讨班写了一篇谈中学自然科学教学的文章，里面有这样一句：

例如，可以建立一个完全自洽的数学理论，从适用于单个点的基本定律出发，一直推进到我们实际所处的连续充满的空间中的过程，而无须区分所处理的是引力、电、磁，还是热平衡。

这是一份统一场论的纲领，写在他拿到博士学位之前。

高斯挑了第三个题目

1851 年 11 月他交出博士论文《单复变函数一般理论的基础》。高斯给了他罕见的高度评价，还告诉他自己多年来也在准备同一题材的著作。

1853 年 12 月初，他交出就职论文，按规矩同时提三个试讲题目，由系里挑一个。他给弟弟威廉写信：

前两个我已经写好了，本指望他们会挑其中一个；可高斯偏偏挑了第三个，于是我又有点狼狈，还得把它赶出来。

第三个题目是《论作为几何学基础的假设》。戴德金记下了高斯这么挑的原因：「他一反惯例，没有挑三个题目里的第一个，而是挑了第三个，因为他很想听听这么难的题目会被这样一个年轻人怎么处理。」

写稿的过程并不顺利。黎曼那阵子正埋头在「物理学基本定律之间的联系」上抽不出身，接着就病倒了——他自己说，「一半是想得太多，一半是坏天气里在屋里坐得太久」。复活节后大约两周他才动笔，到圣灵降临节写完。然后就是高斯改主意的那个星期五中午。

一场只有一个公式的演讲

戴德金说，黎曼为了让系里那些没受过数学训练的成员也能听懂，把讲稿写得格外费劲；但也正因如此，它成了表述上的杰作——一个解析推导都不给，却把推导的路线交代得如此精确，照着就能完整复原。

讲稿做了三件事。

第一，它把几何公理从「先验真理」的位置上拿了下来。空间区别于其他可设想的三重延展量的那些性质，「只能从经验中得出」；而这些经验事实「和一切事实一样并非必然，只具有经验的确定性——它们是假设」。标题里的「假设」就是这个意思。

第二，它把「空间」和「量度」拆成了两件事。先构造出 $n$ 重延展量——今天叫流形——这时候还没有距离这回事；距离是后加上去的一层结构，由一个二次微分形式给出：

$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\, dx^i dx^j$

黎曼当场数了一下这层结构有多少自由度：$g_{ij}$ 有 $\tfrac{1}{2}n(n+1)$ 个分量，换一套坐标最多消掉 $n$ 个，剩下 $\tfrac{1}{2}n(n-1)$ 个位置的函数是连续统本身决定的，谁也换不掉。这是「引力场有多少个独立自由度」这个问题第一次出现。

第三，曲率可以逐点变化。平坦空间不是默认状态，只是常曲率的一个特例。整篇讲稿里唯一写出来的公式，就是常曲率空间的线元——三种几何被收进同一个式子，差别只剩下参数 $\alpha$ 的正负。

高斯的反应没有发生在会场。戴德金写道：这场超出他一切期待的演讲让他大为震惊，从系务会议回来的路上，他对威廉·韦伯「以最高的赞许，以及一种在他身上少见的激动」，谈起黎曼所讲思想的深度。半年多以后高斯就去世了。

「根据必须到外面去找」

讲稿的结尾三段是黎曼离物理最近的地方，也是今天读起来最不像 1854 年的地方。

他说，我们把几何定律外推到无穷小尺度，靠的是「刚体」和「光线」这两个经验概念；而在无穷小处，这两个概念很可能失效。所以空间在极小尺度上的度量关系可能根本不服从几何学的假设——「而且如果这样能更简单地解释现象，我们就应当这么假设」。

接着是那句离广义相对论只差一层窗户纸的话：

所以，要么空间背后的实在构成一个离散的流形，要么其度量关系的根据必须到外部、到作用于它的束缚力中去寻找。

一个连续的空间，它的形状不可能由它自己决定；要问为什么是这个形状，只能去问作用在它上面的东西。六十一年后的答案是：物质。

然后他就停住了，用的是页面上方那句话——这把我们引向另一门科学的领域，引向物理学的领域，今天的场合恐怕不容许我们踏进去。

那篇没得奖的征文

讲稿里没有曲率张量。它第一次被写出来，是在一篇没有得奖、十五年后才见天日的稿子里。

巴黎科学院悬赏了一道热传导的题目：求一个无限大均匀固体应处于怎样的热状态，才能使某一时刻的一族等温线在此后任意时刻仍是等温线。1861 年 6 月，黎曼用拉丁文写了解答投出去，按匿名评审的规矩配了一句题铭：

Et his principiis via sternitur ad majora. （凭这些原理，通往更伟大之物的道路得以铺就。）

为了处理这个问题，他需要判断两个二次微分形式能不能通过换坐标互相转化——这正是「两块空间是不是同一块空间」的问题，答案就是那个四指标的对象。他写成形如 $(ij,\,kl)$ 的括号记号，不是今天的 $R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu}$。

他没得奖。 戴德金说，是因为他来不及把推导所需的计算完整交代出来。这一届的奖也没有发给任何别人。稿子留在遗物里，1876 年戴德金编《全集》初版时才第一次面世。

把它变成可以计算的东西，靠的是后来的人：克里斯托费尔 1869 年那篇论二次齐次微分式变换的论文引入了后来叫协变导数的概念和今天带他名字的记号；里奇读了克里斯托费尔以后从 1884 年起发展出一整套「绝对微分学」，1900 年和学生列维-奇维塔写成那篇长文。这套东西在 1912 年被交到爱因斯坦手里的时候，已经现成了。

电以光速传播

1854 年复活节，科尔劳施到韦伯家做客两周做电学实验，黎曼参加了。科尔劳施此前精确测量过一个当时没人能解释的现象——莱顿瓶里的「电学残余」。黎曼用自己关于电、光、磁关系的一般研究给出了解释，写成理论寄给他。他在给弟弟的信里说：

这件事对我重要，因为这是我第一次能把自己的工作用在一个此前未知的现象上。

1858 年他把《对电动力学的一点贡献》交给哥廷根王家学会。文章的主张是：电的作用不是瞬时的，它以光速传播；描述电力传播的微分方程，和描述光、热传播的是同一个。他给姐姐伊达写信：「我完全确信我的理论是对的，几年内就会被普遍承认。」

然后他把稿子撤了回来，此后一直没发表。戴德金的解释是，大概他自己对其中的推导不再满意。这篇遗作 1867 年才刊出，里面那个引入理论电动力学的推迟标势至今有效，却几乎不为今天的理论物理学家所知。

这件事还有一层压力。1853 年底他给弟弟写信：

我越来越确信高斯几年来也在做这个，并且在保密的前提下告诉了包括韦伯在内的几个朋友……我希望现在对我还不算太晚，希望人们会承认我是完全独立地找到这些东西的。

二十七岁，担心自己的导师抢跑。

激波：另一条线

1859 年 11 月，就在提交那篇著名的素数论文一个月后，黎曼交出了《论有限振幅平面空气波的传播》。

在他之前，声波都按小振幅处理，方程是线性的。黎曼处理的是大振幅——波峰跑得比波谷快，波形会越走越陡，最后陡到出现间断。这是一个非线性偏微分方程的问题，而当时几乎没有人知道非线性方程该怎么下手。

他的办法是找出两个特别的组合量，让每一个沿着自己的那族特征线保持不变，于是偏微分方程被化成了沿特征线的常微分方程；相邻特征线相交的地方，解就出现跳跃。他还写下了跨过跳跃时必须满足的条件。

彼得·拉克斯的评价是：这篇论文奠定了双曲方程支配的线性与非线性波传播理论的基础，其中引入的概念——黎曼不变量、黎曼初值问题、非线性方程的跳跃条件、线性方程的黎曼函数——至今仍是这个理论的基本构件。

今天计算流体力学的主流是 Godunov 型有限体积格式，它每推进一个网格步，都在解一个小小的「黎曼问题」。算超声速飞行、算爆炸、算超新星抛出的激波，用的都是 1859 年那篇论文的骨架。

无花果树下

1862 年 6 月 3 日他和埃莉泽·科赫结婚，一个月后患上胸膜炎，从此留下了要他命的肺病。此后四年他三次南下意大利过冬。1863 年冬天在比萨，冷到阿诺河封冻；女儿伊达 12 月 22 日生在那里。同年贝蒂促成比萨大学请他接莫索蒂的教席，他谢绝了，理由是以自己的身体没有把握完整履行职责。

1866 年 6 月 15 日普奥战争刚开打，他就第三次动身南下。火车在卡塞尔断了线，他改乘马车到吉森，6 月 28 日抵达马焦雷湖，住在塞拉斯卡的皮索尼别墅。

戴德金记下了最后那几天：

但就在去世前一天，他还靠在一棵无花果树下、为眼前壮丽的景色满心欢喜地，做着他最后那件可惜未能完成的工作。

7 月 20 日，妻子在他身边念主祷文，念到「免我们的债」时他虔诚地抬起眼睛向上；她感到他的手在自己手里变凉。他最后的话是「吻一下我们的孩子」。他三十九岁。

墓在附近比甘佐洛的教堂墓地，碑是意大利的朋友和同行凑钱立的，铭文取自《罗马书》：「万事都互相效力，叫爱神的人得益处。」戴德金在脚注里说，墓地后来改建，这块碑被移走了。

十四年之后

1868 年，戴德金把那份讲稿整理出来，发表在《哥廷根王家科学学会论文集》第 13 卷。离他讲完那天已经过去十四年，离他去世两年。

他身后留下的东西，有一部分是被人先推翻再救回来的。他的博士论文和阿贝尔函数论文都建立在狄利克雷原理上——这个名字是他起的，纪念柏林时期的老师。1870 年魏尔斯特拉斯指出这条原理的论证有漏洞，克莱因后来写道，多数数学家因此转身离开了黎曼。但亥姆霍兹对克莱因说了一句话：「对我们物理学家来说，狄利克雷原理仍然是一个证明。」世纪之交，希尔伯特用变分法的直接方法把它补了回来；1913 年外尔写出《黎曼面的概念》，第一次把黎曼面严格化。

几何这一条线走得更远。克里斯托费尔、里奇、列维-奇维塔把 1861 年那份没得奖的稿子磨成了可以计算的工具，1912 年它被翻出来给了爱因斯坦。爱因斯坦后来这样写：

但物理学家们当时离这样的思路还很远；对他们来说，空间仍是某种刚硬、均匀、不能改变也不能取不同状态的东西。唯有孤独而不被理解的黎曼的天才，早已独自走到了一种新的空间观念——空间在其中被剥去了刚性，它参与物理事件的可能性被承认了。这一智力成就尤其令人赞叹，因为它出现在法拉第和麦克斯韦的电场论之前。

黎曼自己在 1854 年那天只说到物理学的门口就停住了。他没有活到看见门里的样子。