保罗·埃伦费斯特

1912 年 1 月，一个没有教职的三十二岁奥地利人从圣彼得堡出发，挨个拜访德语世界的大学，想找一份工作。在慕尼黑听过他报告的索末菲后来写信推荐他：

他讲课像一位大师。我几乎没听过谁讲得这样引人入胜、这样光彩照人……他懂得把最难的东西讲得具体、直观，数学论证经他一转，就成了容易理解的图景。

这年秋天，洛伦兹从莱顿大学的教席上退下来，指名让这个人接班。保罗·埃伦费斯特在莱顿一待就是二十一年。他自己的论文很少是「突破」，却几乎篇篇把一个基础问题问到了底；他的学生和访客名单，差不多就是一部 1920 年代理论物理的花名册。

玻尔兹曼的课堂

埃伦费斯特 1880 年生在维也纳一个犹太家庭，父母从摩拉维亚的小镇迁来，开了一家食品杂货店。他小学出色，进了文理中学却只有数学好，常常消沉。1899 年他进维也纳工业大学读化学，却跑到维也纳大学去听玻尔兹曼讲「力学热理论」。据卡西米尔为他写的传记，这门课起了决定性的作用：它让埃伦费斯特决定献身理论物理，定下了他此后多年的研究方向，也给了他一个「怎样讲课」的榜样。

1901 年他照当时德语大学的习惯转到哥廷根，听克莱因和希尔伯特的课。在那里他注意到一位从不来数学俱乐部聚会的俄国女生——原因是俱乐部不许女性参加。埃伦费斯特为此据理力争，把规矩改了。这位女生叫塔季扬娜·阿法纳西耶娃，也是数学家。1904 年他在玻尔兹曼指导下拿到博士学位，同年年底两人结婚：她是东正教徒，他是犹太人，奥地利的法律不许这样的婚姻，两人都宣布放弃宗教信仰才得以成婚。「无宗教信仰」这一条，此后多年一直挡在他求职的路上。

给玻尔兹曼辩护：狗与跳蚤

1906 年 9 月，埃伦费斯特夫妇回到哥廷根时，玻尔兹曼刚在意大利的杜伊诺自杀。克莱因原本约玻尔兹曼为《数学科学百科全书》写统计力学条目，这时转托给了埃伦费斯特。夫妇俩写了好几年，1911 年才刊出。这篇长文不求全，而是把玻尔兹曼一派的基本假设逐条拆开，指出哪里已经证明、哪里还是悬案，再用精心挑选的简单例子把原理讲透——卡西米尔说它有「一种完全属于自己的风格」。

其中最出名的例子早在 1907 年就发表了。当时反对玻尔兹曼的人有两个著名的诘难：力学规律对时间是可逆的，怎么会推出单向的熵增？按庞加莱的回归定理，系统迟早会回到初始状态，熵又怎么能一直增加？埃伦费斯特夫妇的回答是一个小学生都能玩的游戏：两只狗，一群编了号的跳蚤，每一步随机抽一个号，那只跳蚤就跳到另一只狗身上。

规则完全对称，也必然回归——任何状态迟早都会重现。可是只要跳蚤多一点，回归时间就长得荒唐：

$$\langle T_n \rangle = \frac{2^{2N}}{\binom{2N}{n}}$$

一百只跳蚤起初全在一只狗身上，很快就会变成两边各五十左右，并在那附近来回晃；要想再看到它们全挤回一只狗上，平均得等约 $1.3\times10^{30}$ 步。「可逆」与「会回归」并不妨碍系统在一切实际的时间尺度上表现出不可逆——这正是玻尔兹曼想说却没能让论敌信服的话。这个模型后来成了概率论里的标准教材例子，精确的回归时间公式由卡茨在 1947 年给出。

紫外灾难与转盘悖论

在圣彼得堡的五年，埃伦费斯特结交了约飞等朋友，却因为既是奥地利人又拒绝声明宗教信仰，没有任何正式职位的希望。他靠夫妇俩继承的一点积蓄生活，研究却做得最好。

1911 年他在《物理学年鉴》上问了一个尖锐的问题：普朗克的辐射理论里，究竟哪一部分是离不开「量子」的？ 他证明，只要要求辐射能量在高频端不发散，能量就必须以某种不连续的方式分配——不连续性是躲不开的。为了称呼经典理论在高频端的那个发散，他造了一个词：「紫外灾难」。几个月后庞加莱独立证明了类似的结论，而且名气更大；远在圣彼得堡的埃伦费斯特来不及告诉他自己已经做过，为此颇为难过。

更早的 1909 年，他还提出了一个至今仍被讨论的相对论难题：一个匀速转动的刚性圆盘，边缘沿运动方向应当发生洛伦兹收缩，半径方向却不收缩——周长与半径之比就不再是 $2\pi$。这个「埃伦费斯特悖论」说明狭义相对论里根本不存在严格意义上的刚体，也把转动参考系里的非欧几何摆到了台面上。

绝热不变量：什么量能被量子化

1911 年的索尔维会议上，洛伦兹提起与爱因斯坦谈过的一个单摆：把摆线慢慢缩短，量子条件会不会被破坏？爱因斯坦答，能量与频率之比 $E/\nu$ 在缓慢变化中保持不变。

埃伦费斯特把这个回答推广成一条原理。参数缓慢（「绝热」）变化时保持不变的量叫绝热不变量，对周期运动就是作用量

$$J = \oint p\,dq$$

他在 1913 到 1916 年间论证：量子论里能被量子化的，只能是这类量——否则量子态会在缓慢变化中「走丢」。玻尔 1918 年把这条「绝热原理」与自己的对应原理并列为旧量子论的两块基石；它也解释了为什么玻尔兹曼的统计权重可以原封不动地搬到量子态上。卡西米尔认为这是埃伦费斯特在莱顿时期最重要的工作，他本人也视之为自己最好的贡献。

莱顿的学派

1912 年 12 月，埃伦费斯特以《论光以太假说的危机》为题在莱顿就职。他在家里办起了夜间讨论会，还组织了学生物理学会「莱顿瓶」。他的方式与众不同：问题要问到最基本处，要用最简单的模型讲清楚，报告人讲不明白他就一遍遍打断。他对快要来访的奥本海默写信说，如果还想架起「重型数学炮」，就请别来莱顿，最好连荷兰都别来；如果愿意心平气和地围着几个基本问题反复聊、不急着发表，那就张开双臂欢迎。

他知道一个学生从自己这里学不到更多时，就把他送到别处去。他的学生里有伯格斯、克拉默斯、乌伦贝克与古兹密特、卡西米尔、斯特勒伊克、柯伊伯，还有后来拿了首届诺贝尔经济学奖的丁伯根——埃伦费斯特认为热力学与经济过程之间应当有某种类比，鼓励他往这个方向做。在他身边待过较长时间的访客有费米、塔姆、奥斯卡·克莱因、海森堡、狄拉克等。

1925 年秋，乌伦贝克与古兹密特提出电子有自旋。埃伦费斯特让他们去请教洛伦兹，自己先把论文寄了出去；洛伦兹算出电子表面的转速会超过光速，两个年轻人慌着要撤稿，他安慰他们说：你们都还年轻，做点蠢事不要紧。自旋最终被证明是对的。

两位巨人之间

1912 年初在布拉格那次见面之后，埃伦费斯特与爱因斯坦成了终生的朋友。爱因斯坦曾推荐他接任自己在布拉格的教席，因为他拒绝填写宗教信仰而作罢。1920 年，经埃伦费斯特安排，爱因斯坦受聘为莱顿大学特聘教授，此后每年都来住上几周，两人在他家拉琴弹琴、争论物理。1919 年玻尔为克拉默斯的博士答辩第一次来莱顿，回去后写信给他，说自己从他那里学到了太多东西，不知该怎样表达感激。

埃伦费斯特想让这两位朋友和解。1925 年底洛伦兹博士学位五十周年纪念时，他把玻尔和爱因斯坦都请到莱顿；1927 年的索尔维会议上，两人围绕量子力学的解释争得最激烈，他最终站到了玻尔一边——这让他自己也很难受。

同一年，他为新生的量子力学写下了以自己命名的定理：位置与动量的期望值服从与牛顿方程形式相同的方程。

$$\frac{d\langle p\rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$$

它回答了一个他一直关心的问题：经典力学究竟是怎样作为近似包含在量子力学里的。只要波包足够窄，期望值就沿经典轨道运动。

最后几年

与这些成就形成鲜明对照的，是他一生对自己能力的低评价。1914 年他与昂内斯合作，指出普朗克那个组合数与玻尔兹曼的组合数并不是一回事；1917 年他论证了为什么只有在三维空间里行星轨道与原子才能稳定；1933 年他还按自由能哪一阶导数出现跳变，给相变做了分类，这套「一级相变」「二级相变」的叫法至今仍在教科书里。但他越来越觉得跟不上海森堡与狄拉克那种抽象的新物理。

从通信看，他最迟在 1931 年春已陷入严重的抑郁。1932 年 8 月，爱因斯坦担心到写信给莱顿大学董事会，建议减轻他的工作负担。幼子瓦西里生于 1918 年，患有唐氏综合征，在机构里接受照护，这是他多年的重负。1933 年 8 月，他给爱因斯坦、玻尔等几位朋友写了告别信，说自己再也无法理解物理的新发展，已经对生活彻底厌倦；这封信和另一封写给学生的信都没有寄出。

1933 年 9 月 25 日，在安排好其他孩子的生活之后，埃伦费斯特在阿姆斯特丹一家儿童医疗机构的候诊室里枪杀了十五岁的瓦西里，随后自杀，终年 53 岁。父子二人葬在一起。

爱因斯坦在悼词里写道，他是自己所认识的最好的老师；理解别人、赢得友谊和信任、帮助陷于内外挣扎的人、鼓励年轻的才华——这些「几乎比他沉浸于科学问题更是他真正的天地」。莱顿大学物理系至今仍叫「埃伦费斯特讨论会」的那个夜间讨论会，是他留下的另一份遗产。