能量子假说

当时的困境

一块铁加热后先发暗红，再转橙黄，最后发白。任何炉工都知道颜色能判断温度。问题是：在每个频率上，究竟辐射出多少能量？

基尔霍夫 1859 年把这个问题提炼成一个纯粹的形式：一个只吸收不反射的理想物体（黑体），它的辐射谱只依赖温度，与材料无关。既然与材料无关，这条曲线就必定由某个普遍的物理定律决定。

到 1890 年代，这个问题从学术好奇变成了工业需求。电灯正在取代煤气灯，而衡量灯泡效率需要一套光度标准。柏林的帝国物理技术研究院——世界上第一个国家计量院——把黑体辐射谱测到了空前的精度。

理论这边有两个部分成功的公式：

维恩公式（1896）在短波段（高频）拟合得近乎完美，一度被认为就是最终答案。

瑞利的推导（1900 年 6 月）从经典的能量均分定理出发，在长波段（低频）对，但推到高频会发散——每个振动模式分到 $kT$ 的能量，而模式数随频率平方增长，总能量无穷大。

（顺带澄清一个流传很广的说法：常被提起的”紫外灾难”是后见之明。瑞利的公式 1900 年 6 月才提出，“紫外灾难”这个词要到 1911 年才由埃伦费斯特造出。真正在 1900 年逼出量子的，不是高频的发散，而是长波段的红外数据。）

1900 年秋，鲁本斯与库尔鲍姆用剩余射线法把测量推进到远红外——波长几十微米的区域，此前从未到达。数据显示维恩公式在那里系统性偏离，而且偏离的方式很规律：能量密度正比于温度。

经典理论怎么修补都对不上整条曲线。

洞见时刻

1900 年 10 月 7 日星期日，鲁本斯带着最新数据到普朗克家做客。

当晚普朗克就拼出了一条新公式。做法是内插：他注意到熵对能量的二阶导数，在维恩极限下正比于能量的一次方，在瑞利极限下正比于能量的平方；他把两项直接加起来，反推回去得到辐射公式。

第二天他把结果寄给鲁本斯。鲁本斯连夜比对，公式与全部数据吻合。10 月 19 日，普朗克在德国物理学会宣读了这条公式。

但”凑对了”不等于”懂了”。 普朗克后来说，接下来的两个月是他一生中最紧张的工作。

要从第一性原理推导出这条公式，他必须计算熵，而计算熵就必须数微观状态数。这意味着他不得不拿起玻尔兹曼的统计方法——一套他此前长期抵触的东西（普朗克曾坚持热力学第二定律是绝对的，反对把它解释成统计规律）。

而要”数”能量的分配方式，能量就必须是可数的份额。他把总能量分成 $N$ 份大小相同的能量元，计算它们在振子之间的分配方式数。

要让最后的公式与实验对上，每份的大小必须正比于频率：

$\varepsilon = h\nu$

12 月 14 日，他在德国物理学会宣读了这个推导。这一天后来被当作量子力学的生日。

新常数 $h$ 的数值他也一并算出来了，与今天的值相差不到百分之二。他还顺带得到了玻尔兹曼常数 $k$，进而算出阿伏伽德罗常数和电子电荷——精度好于当时任何直接测量。

普朗克本人并不认为自己发现了新物理。 他把能量的分立当作一种数学上的权宜之计，一个为了能做组合计数而引入的脚手架，指望日后能取消极限、让它连续化。他后来称那是”一次孤注一掷的绝望之举”，并说自己此后多年一直试图把量子重新纳入经典理论的框架，那些努力全部失败了。

涟漪效应

真正掂出 $h$ 分量的是爱因斯坦。 1905 年他主张，能量的分立不是振子的性质，而是光本身的性质——光在空间传播时就由一份份能量子组成。这一步比普朗克激进得多，普朗克本人多年不接受。

1913 年，玻尔用同一个常数给原子里的电子立法，算出氢光谱。

1924 年，德布罗意把 $h$ 用到物质上，波长等于 $h$ 除以动量。

1925–1926 年，海森堡与薛定谔把这些零散的规则锻造成完整的量子力学。$h$ 出现在对易关系 $[x,p] = i\hbar$ 里——它是整个理论的核心，量度着”量子性”本身的大小。

1927 年，不确定性关系 $\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$：$h$ 划出了自然界对同时确定两个量所设的下限。

此后凡是微观世界的账目——化学键的强弱、恒星如何发光、金属为何导电、超导为何存在——都要用 $h$ 来结算。

2019 年 5 月 20 日，国际单位制完成改革：千克的定义不再依赖巴黎那块铂铱合金圆柱，而是把普朗克常数的数值固定下来（$h = 6.62607015 \times 10^{-34}$ 焦耳秒，精确值，不再有误差），由它反推质量。一个为了解释灯泡辐射而引入的数，成了质量单位的基础。

如果没有它

你口袋里的手机是一座量子纪念碑。

芯片里数百亿个晶体管，依赖对半导体能带的量子理解——能隙的大小、载流子的行为，全部是 $h$ 的产物。

屏幕的背光和 OLED 像素，是电子跨越能隙时按 $E = h\nu$ 交出的光子。LED 的颜色由能隙决定，白光 LED 的效率革命（2014 年诺贝尔奖）建立在对氮化镓能带的调控上。

激光：受激辐射、能级反转、光子的相干性，每一步都是量子的。光纤通信的两端、条码扫描器、激光测距、眼科手术、光刻机的光源，都在用它。

原子钟：铯原子两个超精细能级之间的跃迁频率是一个自然常数，秒的定义就锚定在它上面。GPS、电网同步、金融交易的时间戳、互联网的时间协议，全部依赖它。

太阳能电池、数码相机的感光元件、MRI、核磁共振波谱——名单可以一直列下去。

抽掉能量子假说，信息时代的地基便无从谈起。而提出它的人，用了此后十几年时间试图把它取消掉。