当时的困境
两个天体在引力作用下如何运动，牛顿已经完全解决：轨道是圆锥曲线，可以写成封闭的公式，任意时刻的位置都能算出来。
加上第三个天体，问题就变了。太阳-地球-月球，或者太阳-木星-土星，方程写得出来，解却写不出来。十八、十九世纪最好的数学家——欧拉、拉格朗日、拉普拉斯——都试过。拉格朗日找到了几个特解（今天的拉格朗日点），但一般情况无解。
到十九世纪末，问题被提炼成一个更尖锐的形式：太阳系稳定吗？ 行星的轨道会不会在漫长的时间里慢慢漂移，最终有行星被甩出去或撞进太阳？
拉普拉斯曾用微扰法算出太阳系在他能处理的阶数上是稳定的，并因此说出那句名言——他不需要”上帝”这个假设。但微扰级数是否收敛，谁也不知道。
1885 年，瑞典国王奥斯卡二世设立悬赏，征求这个问题的答案。
洞见时刻
庞加莱提交的论文处理的是简化的三体问题——第三个天体质量极小，不影响另外两个。1889 年他获奖。
论文已经排版付印，编辑米塔-列夫勒的助手在校对时提出了一处疑问。
庞加莱检查后发现自己确实错了。他原来的论证得出轨道稳定的结论，而那个论证有一个漏洞。他自费收回并销毁了已经印好的整期期刊——费用超过了他的奖金——然后重写。
修正后的版本比原来长了一百多页，结论相反。
他证明：在这类系统中存在一种他称为”同宿纠缠”的结构。两条初始条件相差微乎其微的轨道，会随时间指数地分开。轨道不是简单的周期或准周期运动，而是复杂到无法用任何封闭公式描述。
他在《科学与方法》里给了一个不用数学的说法：初始条件的微小差别，可能在最终现象中造成极大的差别；预测因此成为不可能。
这是混沌的第一次数学描述，比洛伦茨 1963 年的天气模型早七十多年。
涟漪效应
庞加莱为处理这个问题发展的工具，今天是非线性动力学的基本语言：把系统的全部状态画成一个高维空间中的点（相空间），用一个截面去截轨道看它留下的图案（庞加莱截面），研究不动点附近的稳定与不稳定方向。
这些结果在此后半个多世纪里主要留在数学圈内。转折点是计算机。
1961 年，洛伦茨在做天气模拟时为了省事，把中间结果的六位小数截成三位重新输入，结果预报完全变了样。他由此写出那个著名的三方程模型，画出”蝴蝶”形状的吸引子。庞加莱七十年前用纯粹的分析证明的东西，在屏幕上被看见了。
1970 年代混沌成为一个独立领域：费根鲍姆发现倍周期分岔的普适常数、吸引子的分形维数、李雅普诺夫指数——都是在庞加莱打下的框架里。
太阳系稳定吗？今天的答案：数值积分表明内行星的轨道确实是混沌的，李雅普诺夫时间约五百万年。在几十亿年的尺度上，水星有百分之一左右的概率被甩出稳定轨道。庞加莱的怀疑是对的。
如果没有它
混沌的实际影响，一半在”能做什么”，一半在”不能做什么”。
不能做的：天气预报的可用期限约两周，不是因为模型不够好或计算机不够快，而是因为大气是混沌系统，初始观测的微小误差会指数放大。再精确的观测也只能把这个期限往后推一点点，推不到一个月。
能做的：正因为轨道对初值极度敏感，航天器可以用极小的推进量实现巨大的轨道改变。1990 年代之后的低能量转移轨道设计，正是利用三体系统中的不稳定流形——日本的”飞天号”探测器在燃料几乎耗尽的情况下靠这条路进入月球轨道，此后成为深空任务的标准技术之一。
一位数学家因为诚实地收回了自己已经获奖的论文，反而写出了二十世纪最有影响的物理概念之一。