当时的困境
1916 年施瓦西解出爱因斯坦方程的第一个精确解，里面就有奇点。1939 年奥本海默与斯奈德算出，足够重的恒星燃料耗尽后会一直坍缩下去，没有任何已知的力能阻止。
但四十多年里，多数物理学家不把这当回事。
理由是对称性。 施瓦西解和奥本海默-斯奈德的计算都假设了严格的球对称。而真实的恒星会自转、会有磁场、形状不规则、坍缩时不同部分速度不同。
于是流行的看法是：完美的球对称把所有物质精确地送向同一个点，出现无穷大不奇怪；真实的坍缩略有偏差，物质就会擦肩而过、旋转起来、被离心力甩开，在某个极小但有限的半径处”弹回来”。奇点是数学理想化的产物，不是物理。
这不是懒惰的猜测。苏联的栗弗席兹与哈拉特尼科夫在 1960 年代初做了一项技术性很强的工作，试图证明一般的（非对称的）初始条件不会导致奇点——他们统计了解的自由参数个数，认为带奇点的解只占一个零测度的特殊集合。
这个结论如果成立，黑洞就只是方程的边角料。
（还有一层困惑：施瓦西解在 处也发散，很多人把它和中心奇点混为一谈。1958 年芬克尔斯坦证明那只是坐标选取的假象，换一组坐标那里一切正常。但这反而加深了怀疑——既然一个”奇点”是假的，另一个会不会也是假的？）
洞见时刻
彭罗斯的背景是数学，尤其是拓扑与射影几何。他带进广义相对论的工具与当时通行的做法完全不同。
主流做法是：写下度规、解微分方程、看解在哪里发散。这条路必须先假设某种对称性才算得动，也因此永远只能处理特殊情形。
彭罗斯不解方程。他问的是因果结构的问题：哪些事件能影响哪些事件？光锥怎么排列？
1964 年秋，他在伦敦过一个街口时想到了关键概念——陷俘面（trapped surface）。
取一个闭合的二维曲面。从它向外发射一束光，再向内发射一束光。在平直时空里，向外的光波前面积会增大，向内的会减小。
而如果引力足够强，两束光的波前面积都在减小。连向外发射的光都在被拉回来。这样的曲面就是陷俘面。
这个定义有两个好处：它是局部的（只看一个曲面附近的情况），而且不需要任何对称性。
彭罗斯随后证明了一条定理，论文只有三页：
只要（一）时空中存在一个陷俘面，（二）物质满足一个很弱的能量条件（大意是能量密度不为负），（三）时空是”可预测的”（不存在闭合类时曲线之类的病态），
那么必然存在不完备的测地线——某条光线或粒子的世界线会在有限的固有时内走到尽头，无法延续。
奇点不是对称性造成的人造物，而是引力坍缩的普遍结局。栗弗席兹与哈拉特尼科夫的参数计数论证被证明有遗漏，他们后来公开承认了这一点。
霍金把论证倒转过来。 既然宇宙在膨胀，那么时间回溯就是收缩。收缩到足够程度，整个宇宙会满足类似陷俘面的条件。1965–1966 年他写了一系列论文，1970 年两人合作发表了最一般的形式：
在广义相对论成立、物质满足能量条件的前提下，膨胀的宇宙必然有一个开端——一个过去的奇点。
大爆炸不再是一个从观测倒推出来的假说，而是引力理论自身的推论。
涟漪效应
奇点定理把黑洞研究从边缘推到了中心。1967 年惠勒给这类天体起名”黑洞”，1963 年克尔已经找到了旋转情形的精确解（真实天体都自转，克尔解才是现实中黑洞的描述）。
彭罗斯本人随后提出了宇宙监督猜想：自然界中形成的奇点总是被事件视界包住，不会”裸露”出来影响外界的可预测性。这个猜想至今未被证明，也没被推翻，是数学相对论的核心问题之一。
同一套因果结构的方法直接催生了黑洞热力学。1971 年霍金用类似技术证明黑洞视界面积永不减少——这与熵的行为惊人地相似。1973 年贝肯斯坦提出面积就是熵，1974 年霍金算出黑洞会热辐射，温度反比于质量。黑洞信息佯谬由此产生，至今是量子引力最核心的难题。
而奇点处物理定律失效这个结论本身，成了寻找量子引力理论最持久的动力：广义相对论预言了自己失效的地方。霍金后来说，这正说明需要一个更深的理论。
如果没有它
黑洞的地位。没有奇点定理，黑洞可能长期停留在”方程的可疑解”这个位置上。而今天它是天体物理的主流对象：2015 年 LIGO 听到黑洞并合，2019 年事件视界望远镜拍下 M87 中心黑洞的阴影，2020 年的诺贝尔奖一半授予彭罗斯（表彰这项数学工作本身），另一半授予根策尔与盖兹（表彰他们追踪恒星轨道、确认银河系中心存在一个四百万倍太阳质量的致密天体）。
大爆炸的地位。它从一个由红移和微波背景支持的经验模型，变成了引力理论内部推得出的结论。（现代宇宙学认为极早期的暴胀可能规避定理的某些前提，量子效应在普朗克尺度也必然改变结论——但那恰恰说明，要绕开这个奇点，就必须超出广义相对论。）
方法论。用拓扑和整体几何而非解微分方程来研究时空，这条路径此后成为数学相对论的标准工具，正能量定理、彭罗斯不等式都在这条线上。
彭罗斯那三页论文没有预言任何新粒子，却确立了现代宇宙学最硬的一条边界：有些地方，时空自己会走到尽头。