当时的困境
水在一百度变成蒸汽，铁在七百七十度失去磁性。这类突变叫相变：控制参数连续变化，体系的性质却在某一点上不连续地改变。
统计力学从微观出发，本该能解释相变。困难在于，配分函数是一个光滑函数的求和，而光滑函数的和还是光滑的——那怎么会出现不连续？答案是相变只在粒子数趋于无穷时才严格出现，可这恰恰是最难算的极限。
于是人们用近似。最流行的是平均场：假装每个自旋感受到的是周围所有自旋的平均效果，忽略涨落。这个办法能给出相变，也给出临界温度，看起来很成功。
但它有一个坏消息式的预言。在临界点附近，各种物理量按幂律发散，指数叫临界指数。平均场给出的指数是一组固定的简单数字（比如磁化率指数为 1）。而实验测出来的值明显不是那些数字。
到底是实验不准，还是平均场错了？没人能判断，因为没有任何一个能发生相变的模型被严格解出来过。
伊辛模型是最简单的候选：方格上每点一个自旋，只能朝上或朝下，相邻的倾向于同向。伊辛 1925 年解出了一维情形，结果是没有相变——这一度让人以为整个模型没有意义。二维的情形谁也解不出。
洞见时刻
1942 年，一场关于伊辛模型的报告结束后，听众席上的昂萨格站起来说：我想我可以把它解出来。
1944 年论文发表。他得到了二维伊辛模型的配分函数的闭式解，以及临界温度的精确值——由一个简洁的超越方程 给出。
真正的震动在临界指数上。昂萨格算出的比热在临界点是对数发散，而平均场预言的是有限跳变；磁化强度的指数是 1/8，平均场说是 1/2。
也就是说，平均场不只是不够精确，它在临界点附近定性地错了。涨落不能被忽略——恰恰是在相变点上，各种尺度的涨落同时重要，这正是平均场假设失效的地方。
这个解的技术难度在当时近乎骇人。昂萨格用了四元数代数和一大堆变换，论文极难读。后来卡乌夫曼、杨振宁等人给出了简化的推导，杨振宁 1952 年还算出了自发磁化的精确表达式。
涟漪效应
昂萨格解的意义远超一个模型。它成了检验一切近似方法的标尺——一个新理论如果连二维伊辛都算不对，就不必再往下看。
更深的影响在于它暴露的规律。人们逐渐发现，临界指数不依赖于体系的细节：气液相变、铁磁相变、二元合金的有序-无序转变，只要空间维数和序参量的对称性相同，临界指数就相同。不同的体系落进同样的普适类。
还有一条对照同样要紧：伊辛模型的自旋只能上下，对称性是离散的，二维照样有寻常意义上的相变。若把自旋换成可以连续转动的箭头，二维里的长程序会被热涨落彻底抹掉——按老框架就不该有相变。1973 年科斯特利茨与索利斯给出的答案是：那里确实有相变，只是被拆开的不是对称性，而是涡旋对。
为什么普适类会存在？答案在 1970 年代由卡丹诺夫、威尔逊等人给出：重整化群。在临界点上体系是标度不变的，把它一层层粗粒化，参数会流向一个固定点，而固定点决定了指数。细节在粗粒化过程中被冲刷掉了，只有维度和对称性留下来。威尔逊 1982 年因此获得诺贝尔奖。
如果没有它
伊辛模型今天早已跑出物理学。它是神经网络最早的数学原型——霍普菲尔德网络本质上就是伊辛模型，2024 年诺贝尔物理学奖的一半正是颁给这条线索；玻尔兹曼机的名字直接来自统计力学。生态学用它建模物种分布，社会学用它建模意见传播，金融学用它建模市场的从众行为。
还有一条分支走得更远：把耦合常数换成随机的正负值，模型就变成自旋玻璃。这时连「序参量是一个数」这个前提都不再成立——帕里西 1979 年证明它必须是一整条函数，见复本对称破缺。
而在物理内部，「普适类」这个概念改变了人们对复杂性的看法：一个体系的宏观行为可以完全不依赖于它由什么构成。这与安德森《多者异也》说的是同一件事，只是昂萨格用一个精确解先把它证明了。