狄拉克方程与反物质

当时的困境

1926 年之后，薛定谔方程所向披靡，但它有一个先天缺陷：它不满足狭义相对论。

原因在结构里：方程对时间是一阶导数，对空间是二阶导数。相对论要求时间与空间地位对等，这个形式一眼就不对。它只在电子速度远低于光速时适用。

直接的修补是把相对论的能量-动量关系 $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ 量子化，得到克莱因-戈尔登方程。它对时间是二阶的，而这带来致命后果：按薛定谔方程的办法构造概率密度，会得到可以取负值的结果。负概率没有意义。

（这个方程后来被证明是对的——它描述自旋为零的粒子，而”概率密度”应重新解释为电荷密度。但在 1927 年，没人知道这一点，包括先写出它又放弃它的薛定谔本人。）

第二个疙瘩是自旋。

斯特恩-格拉赫实验、反常塞曼效应、原子光谱的双线结构，都明确显示电子带有一个只能取两个值的内禀角动量，还伴随一个磁矩。而磁矩的大小需要一个额外的因子 2（朗德 g 因子），来历不明。

泡利 1927 年写下了一个能描述自旋的方程，办法是把波函数改成两个分量、引入三个 2×2 矩阵。它管用，但完全是手工塞进去的：自旋不是从任何原理推出来的，是照着实验补上的。而且它同样不满足相对论。

量子力学与相对论，二十世纪的两大支柱，在电子这个最基本的粒子身上互不相认。

洞见时刻

1928 年初，狄拉克在剑桥坚持一个近乎美学的判断：

正确的方程对时间必须是一阶的。

理由是概率诠释——只有一阶时间导数，才能保证概率密度非负且守恒。而相对论要求时空对等，所以对空间也必须是一阶的。

于是问题变成：能不能把 $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ “开平方”，写成一个一阶的形式？

$E = c\,\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{p} + \beta mc^2$

要让它平方之后回到原式，系数 $\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z,\beta$ 必须两两反对易。普通的数不可能反对易。

狄拉克意识到它们必须是矩阵，而且最小的可行尺寸是 4×4。

波函数随之变成四个分量。

代价换来了三个奇迹：

一、自旋自动出现。 四个分量中的两个自由度恰好对应自旋向上和向下。不需要任何额外假设——相对论加上一阶方程，自动要求电子有自旋 1/2。

二、磁矩的因子 2 自动出现。 那个来历不明的 g=2，从方程里直接算出来。

三、氢原子的精细结构一并算对。 索末菲当年靠半经验方法凑出的公式，成了这个方程的严格解。

海森堡后来说，狄拉克在那段时间做的工作让人有点绝望——他把所有人想解决的问题一次解决了。

但方程还剩下另外两个分量。

它们对应负能量的解。而这是个灾难：既然存在能量任意低的态，普通电子就会不断辐射能量往下掉，物质应该在瞬间坍塌。

狄拉克 1930 年的第一个解释是”空穴理论”：真空其实是所有负能态都被填满的状态，泡利不相容原理阻止普通电子掉下去。如果打掉一个负能电子，留下的”空穴”表现为一个带正电的粒子。

他起初猜那是质子。外尔立刻指出这不可能——由对称性，空穴的质量必须与电子相同，而质子重了 1836 倍。

1931 年，狄拉克接受了这个结论，明确预言存在一种质量与电子相同、电荷相反的新粒子。他称之为”反电子”，并指出实验中没见过它，只是因为它一遇到普通电子就会湮灭。

这在当时是极其大胆的一步：纯粹从方程的形式，预言一种从未见过的粒子。

1932 年 8 月，加州理工的安德森在云室里研究宇宙线，看到一条径迹：曲率与电子相同，方向相反。正电子。他 1933 年发表结果时并不知道狄拉克的预言。

纸上的数学，跑在了实验前面四年。

（空穴理论今天已被量子场论取代——不需要”填满的负能海”，反粒子直接作为场的激发出现。但狄拉克的结论是对的。）

涟漪效应

每一种粒子都有对应的反粒子。 1955 年反质子，1956 年反中子，1995 年 CERN 造出反氢原子，2010 年代已能把反氢囚禁足够久来测它的光谱（结果与氢完全一致，符合 CPT 对称性）。

这带来了一个至今未解的问题：大爆炸应该产生等量的正反物质，它们本该湮灭殆尽只剩辐射。今天宇宙里几乎全是正物质。已知的 CP 破坏量远不足以解释这个不对称，我们为什么存在仍是开放问题。

方程与电磁场结合，催生了量子电动力学——历史上被检验得最精确的理论。电子反常磁矩的理论值与实验值符合到小数点后十二位。这套框架一路延伸成整个粒子物理标准模型：每一种基本费米子（夸克、轻子）都由一个狄拉克方程描述。

方程揭示的自旋也走出了实验室。自旋电子学用电子自旋而非电荷来存储和处理信息：巨磁阻效应让硬盘读头灵敏度提升了几个数量级（1988 年发现，2007 年诺贝尔奖），磁性随机存储器（MRAM）已经商用。

如果没有它

医院里的 PET。 正电子发射断层扫描是反物质的日常应用：给病人注射含氟-18 的葡萄糖类似物，它衰变放出正电子；正电子在体内飞行约一毫米后与电子相遇湮灭，变成两个背对背飞出的 511 keV 伽马光子；环形探测器捕捉这些光子对，由飞行时间差定位湮灭点，逐层重建出肿瘤代谢或大脑活动的图像。全球每年数千万人次的检查依赖它。

放疗。质子治疗、重离子治疗的剂量计算要用相对论量子力学；反质子治疗也在研究中。

对撞机。正负电子对撞机（LEP、SLC、北京的 BEPC）用的就是物质与反物质的湮灭——所有能量都转化为新粒子，本底极干净。

标准模型的整座框架，都要从这行方程说起。

狄拉克本人对这件事的总结很有名：让方程漂亮，比让它符合实验更重要。这句话作为方法论是危险的，但在 1928 年，它赢了。