玻尔原子模型

当时的困境

1911 年，卢瑟福从 α 粒子散射实验推断出原子的绝大部分质量集中在一个极小的核里。原子于是成了一个微型太阳系：电子绕着核转。

这个图像有一个致命问题，而且是当时最可靠的理论算出来的。

按经典电磁学，做加速运动的电荷必须辐射电磁波。绕圈就是加速。因此电子会持续损失能量、螺旋向内，大约一亿分之一秒后落进核里。

也就是说，经典物理预言原子不能存在。

第二个问题是光谱。坠落的电子轨道半径连续变小，辐射频率也应连续变化，光谱该是一条连续的带。实际观测到的却是一根根锐利的分立谱线。

而且这些谱线的位置有规律。1885 年，瑞士一位中学教师巴耳末发现氢的四条可见谱线的波长可以用一条含整数的简单公式算出，误差在万分之一以内。里德伯随后把它推广成更一般的形式。

公式对得离谱，却没有任何物理解释。二十八年过去了，没人知道那些整数是从哪来的。

洞见时刻

1913 年初，二十七岁的玻尔刚从卢瑟福的曼彻斯特实验室回到哥本哈根，正为原子的稳定性发愁。同事汉森问他有没有看过巴耳末公式。玻尔后来说，他一看到那条公式，一切就都清楚了。

他的做法是给原子直接立法，用两条与经典物理冲突的假设：

1. 电子只能处在一系列分立的”定态”上，处于定态时不辐射。 这直接否定了经典电磁学，但它解释了原子为什么稳定——最低的那个定态之下没有别的态，电子无处可落。
2. 辐射只发生在定态之间的跃迁，且一次发出一份光，能量为 $h\nu = E_m - E_n$。

再补一条挑选定态的规则：电子的角动量只能取 $\hbar$ 的整数倍。

然后是关键的一步——他没有引入任何新的可调参数。用电子电荷、电子质量和普朗克常数，他算出了各定态的能量，进而算出谱线的波长。得到的公式正是巴耳末-里德伯公式，而其中的里德伯常数是算出来的，不是拟合出来的，与实验值符合到当时的测量精度。

那些神秘的整数，是定态的编号。

他还顺手解决了一桩公案：天文学家皮克林在恒星光谱里发现一组线，一直被归给氢的某种未知形式。玻尔算出那是电离氦的谱线——氦核带两个正电荷，能级按 $Z^2$ 缩放。福勒起初反驳，玻尔又指出还要修正原子核的有限质量效应，改正后连微小的偏差也对上了。

爱因斯坦听到这个验证时说，那么这就是一项重大成就。

同一年 12 月，曼彻斯特的莫塞莱从另一个波段送来了检验。他测得各元素最强的那条特征 X 射线，频率满足

$$\nu = \frac{3}{4}\,\nu_0\,(N-1)^2$$

其中 $\nu_0$ 是里德伯频率，$N$ 是原子序数，而 $\frac{3}{4}$ 正是玻尔公式里从第 2 定态落到第 1 定态的 $\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}$。波长比氢的可见光短约两千倍，系数照样对得上，莫塞莱称之为「值得注意」，但对跃迁机制留有保留。这条规律如何把原子序数确立为核电荷数，见「原子序数与莫塞莱定律」一页。

涟漪效应

模型立刻把光谱从一堆神秘条纹变成了原子的指纹。每种元素有一套独有的能级，因此有一套独有的谱线。光谱分析从经验技艺变成有理论根据的方法，天文学家由此可以隔着几千光年读出恒星的成分——佩恩-加波施金 1925 年据此算出恒星主要是氢，用的就是这套能级框架。

最直接的实验支持来自一个本来不是为它设计的实验。1914 年，柏林的弗兰克与古斯塔夫·赫兹（海因里希·赫兹的侄子）发现，穿过汞蒸气的电子要攒够约 4.9 电子伏才会被汞原子整份吸走，被撞的汞随即只发出一条紫外谱线。两人当时把 4.9 伏当成电离电压，论文里没提玻尔；1915 年玻尔撰文说，它也可能只对应从正常态到另一个定态的跃迁，并算出真正的电离电压应在 10 伏以上。战时北美的实验把激发与电离分开之后，两人 1919 年改用玻尔理论重新解释——定态第一次在谱线之外、用电学测量被看见。

玻尔进而用电子按壳层填充的思想去解释元素周期表：同一列元素性质相似，是因为最外层电子数相同。1922 年他据此预言 72 号元素应属于锆族而非稀土，并指出该到锆矿里去找；赫维西与科斯特随即在哥本哈根找到了它，命名为铪。

而这个模型的失败同样重要。 它算不动氦原子——两个电子的问题超出了它的能力，无论怎么调整规则都对不上。它也说不清谱线为什么有的强有的弱，说不清在磁场中的复杂分裂。玻尔本人清楚这些是原理性的缺陷，不是技术困难。

正是这些算不动的地方，逼着海森堡、泡利、约尔当在 1925 年推倒重来。旧量子论是跳板，玻尔亲手把年轻人送过了河——1925 年之后，他在哥本哈根做的事主要是解释那套新力学意味着什么。

如果没有它

“电子在能级间跃迁而发光”这句话如今就在你身边运行。

照明：霓虹灯是气体原子被电子撞上高能级、跌落时发出特定颜色的光——氖是橙红，氩是蓝紫。荧光灯和白光 LED 里的荧光粉同理：吸收一份高能光子，分几步跌落，发出可见光。

激光：受激辐射是爱因斯坦 1917 年在玻尔的能级图上发现的过程。光盘、光纤通信、激光切割与眼科手术，都始于此。

测量：化验室的光谱仪几秒钟判定合金成分；天文台靠谱线的位移测量星系退行速度；大气监测靠吸收谱线识别污染物。用的都是同一套指纹。

没有玻尔模型，元素周期表仍然只是一张按性质排出来的表格——知其然，不知其所以然。