阿基米德

关于阿基米德，人们记得最牢的两件事——跳出浴盆喊「尤里卡」、说「给我一个支点」——都不是他自己写下的。前一件出自他死后近两个世纪的一位罗马建筑师，后一件最完整的版本出自五百多年后的一部数学汇编。他自己写下的东西冷静得多：一条条公设，一个个命题，每一步都有证明。

正是这些冷静的命题，让他成为第一个把物理问题写成演绎体系的人。他没有「力」的概念，也不做我们意义上的实验，却从几条几乎不言自明的假设出发，推出了杠杆为什么平衡、物体为什么浮起、一块平板的重心在哪里。一千八百年后，伽利略、斯泰芬、惠更斯都是从他的命题开始做力学的。

叙拉古人

他生在西西里岛东岸的希腊城邦叙拉古。生年只能反推：12 世纪的拜占庭学者策策斯说他享年七十五岁，他又死于前 212 年城破之时，于是得出前 287 年前后。他在《数沙者》里提到父亲斐迪亚斯是天文学家；普鲁塔克说他是国王希伦二世的亲戚与朋友。狄奥多罗斯提到他去过埃及，这常被理解为他在亚历山大城求过学。

他的著作多以书信形式寄给亚历山大城的学者——先是萨摩斯的科农，科农死后是科农的学生多西修斯，还有埃拉托色尼。据注释家欧托基奥斯说，有个叫赫拉克利德斯的人写过他的传记，但早已失传。今天关于他生平的一切，都是从罗马与拜占庭作者的零星记载里拼出来的，最早的那几位也晚他几十年到一两百年。

《论平面的平衡》：从公设推出杠杆

《论平面的平衡》第一卷开头是七条公设，第一条是：

等重的物体在等距离上平衡；等重的物体在不等的距离上不平衡，向距离较远的那个倾斜。

这几乎是一句废话——对称的东西当然平衡。可他就从这类废话出发，一步步推到第一卷的核心命题 6 与 7：两个量在与它们成反比的距离上平衡，可公度的与不可公度的分开证明。写成今天的式子就是

$$W_A\, d_A = W_B\, d_B$$

接下来他用同样的办法找重心：平行四边形的重心在对角线交点，三角形的重心在三条中线的交点，梯形的重心在哪条线上的哪一点；第二卷一直推到抛物线弓形的重心。「重心」这个概念在他之前就有人用，但把它当成可以严格定位的几何点、一个命题一个命题求出来，是从这部书开始的。

这种写法照搬的是欧几里得几何：先立公设，再推命题，不诉诸经验。它的代价在两千年后才有人追问。马赫在 1883 年的《力学史评》里认为，阿基米德从「等重等距平衡」推出反比定律时，中间有一步把一个重物换成两个等效重物，这一步其实已经默认了要证的结论。此后不断有人替阿基米德辩护，说马赫重构的论证并不是原文的样子。这场争论至今没有定论，它本身也说明了阿基米德的证明有多值得认真对待。

「给我一个支点」

这句话最完整的版本见于约 4 世纪亚历山大城的帕普斯《数学汇编》第八卷，希腊文是「δός μοι ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν」，直译是「给我一个站的地方，我就能移动大地」——说的是站的地方，并没有「支点」。帕普斯把它和「用给定的力移动给定的重物」这个机械问题连在一起。

更早的普鲁塔克（约公元 100 年）记的是另一种说法：阿基米德写信告诉希伦王，任何给定的重物都能用给定的力移动，并且夸口说，如果有另一个世界让他走过去，他就能移动这一个。希伦要他演示，据说他坐在远处，只拉着一套复滑轮的绳头，就把一艘满载乘客与货物的三桅货船平稳地拖了过去。阿特纳奥斯讲同一件事，说用的是螺旋机械；12 世纪的策策斯又说是一种叫 charistion 的器械。几种说法细节各异，但都把这句话放在同一个背景里：杠杆与滑轮的原理，让「以小力移大重」在原则上没有上限。

《论浮体》：浮力原理的原文

《论浮体》是现存最早的流体静力学著作。第一卷只有一条公设：

设流体的性质是这样的：它的各部分平铺而连续，受压较小的部分会被受压较大的部分推开；每一部分都受到它正上方流体沿竖直方向的压力。

由此，他先证明静止液体的表面是一个以地心为球心的球面，再证明两条今天叫「阿基米德原理」的命题：

• 命题 5：比液体轻的固体放进液体，会沉到它的重量恰好等于被排开液体的重量为止。
• 命题 7：比液体重的固体会沉到底；在液体中称它，会比真实重量轻，轻掉的恰好是被排开液体的重量。

用今天的记号写，就是浮力

$$F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}}\, g\, V_{\text{排}}$$

第二卷转向一个工程味十足的问题：一个旋转抛物体截成的「船体」浮在水里，什么形状、什么比重下会自己回正，什么时候会翻。这是船舶稳性理论最早的源头。这部书的希腊原文长期失传，中世纪以来通行的是 1269 年穆尔贝克的威廉的拉丁译本，直到 20 世纪初那部重写本出现，才又读到大部分希腊原文。

王冠与浴盆：维特鲁威的故事

「尤里卡」的故事出自罗马建筑师维特鲁威《建筑十书》第九卷序言，写于前 1 世纪后期，离阿基米德去世已近两百年。他的讲法是：希伦王给神庙定做了一顶金冠，有人告发工匠掺了银。阿基米德在浴盆里看见水随身体浸入而溢出，想到了办法，高兴得跳出来，光着身子跑回家，一路用希腊语喊着「εὕρηκα，εὕρηκα」（我找到了）。办法是：取与王冠等重的一块金、一块银，分别放进盛满水的容器，量出各自溢出的水量，再放王冠，看它溢出的水是否多于纯金。

这个故事与《论浮体》之间有两道缝。其一，阿基米德自己的著作里从未提到王冠。其二，维特鲁威描述的是比较体积，用不上浮力原理。一首大约写于公元 500 年前后的拉丁语诗《论重量与度量》另有说法：阿基米德是把等重的金与银挂在天平两端、一起浸入水中比较的。伽利略 1586 年写的短文《小天平》则说，量溢水的办法「非常粗糙」，缺少数学所要求的精确；他设计了一种天平：一臂挂金属、另一臂的配重留在空气中，把金属浸入水里，看配重要往支点挪多少才能重新平衡，纯金、纯银、合金各留一个刻度，由刻度间的距离之比读出金银比例。他相信这才是阿基米德的办法。希思在 1897 年的译本注释里认为，命题 7 本身就提示了水中称重这条路。

哪种做法是阿基米德的、王冠的事有没有发生过，现存材料都无法回答。能确定的只是：浮力原理的原文是命题 5 与命题 7，浴盆的故事是维特鲁威讲的。

《方法》：用杠杆去称面积

阿基米德的纯数学证明向来以「看不出他是怎么想到的」著称：结论先摆出来，再用穷竭法一步步夹逼。直到 1906 年，人们才读到他自己交代的思路。

这一年，丹麦语文学家海贝格在君士坦丁堡圣墓修道院的分院查看了一部祈祷书。它写在一部 10 世纪阿基米德抄本的羊皮纸上——原来的字在 13 世纪被刮洗掉，纸张改作他用（重写本项目据新读出的题记定为 1229 年 4 月）。海贝格凭照片与放大镜辨认出底下的文字，1907 年在《赫尔墨斯》杂志上发表。其中有一部此前只闻其名的著作：写给埃拉托色尼的《方法》。

《方法》的第一个命题就是抛物线弓形的面积。他把弓形和一个三角形都想象成由无数平行细线组成，挂在一根杠杆的两边，逐条比较力矩，得出弓形面积是同底同高三角形的 $\tfrac43$。同样的「称法」给出了球的体积。他在序信里说得很清楚：这样得到的只是结论的预先认识，还不是证明，之后要用几何重新严格证明——这就是本页开头那段引文。换句话说，他是先用物理找答案，再用数学补证明。

这部重写本后来在 20 世纪上半叶流落民间，1929 年之后又有人在其中几页画上了福音书作者像。1998 年 10 月 29 日，它在纽约佳士得拍卖，一位匿名买家以 200 万美元购得，次年起存放在巴尔的摩的沃尔特斯艺术博物馆。此后近十年，一支团队用紫外、红外等多光谱成像逐页读出底层文字；伪画下的字迹，则在 2005 至 2006 年间送到斯坦福同步辐射光源，用 X 射线荧光照出墨水里的铁元素才读了出来。

叙拉古之战：城头的器械

第二次布匿战争中，叙拉古倒向迦太基。前 214 年起，罗马将领马塞勒斯水陆两路围城。关于阿基米德在城防中的作用，现存最早也最冷静的记载来自约半个世纪后的希腊史家波利比乌斯，李维与普鲁塔克的叙述大体沿用了它：

• 射程远近不同的弩炮与投石器，敌船远时用大的，近了换小的，在城墙上开小孔从后面射击；
• 从城墙伸出的长杆吊臂，或向船上砸下重物，或用一只铁爪抓住船头吊起来再摔下去。

普鲁塔克加了更多戏剧性的细节：马塞勒斯苦笑着说要停止跟这个「几何学的百臂巨人」打仗；罗马士兵后来只要看见城墙上伸出一截绳子或木头，就喊「又来了」转身逃跑。围攻于是改成长期封锁。普鲁塔克还说，阿基米德把这些机械看作几何学「游戏时的消遣」，认为一切实用的技艺都卑下，不屑为之著书——这是普鲁塔克的评价。帕普斯转引安条克的卡普斯的说法，稍有不同：他只写过一本机械著作《论造球》。

燃烧镜：一个晚出的传说

用镜子聚焦阳光烧毁罗马战船的故事，在波利比乌斯、李维、普鲁塔克的记载里都没有出现。希思在 1897 年的考订里写道，这个故事在 2 世纪的琉善之前找不到任何出处，而琉善只说他用「技艺」烧了敌船，没提镜子。同一世纪的医生盖伦也有一句话提到此事，他用的词究竟是指镜子还是燃烧的沥青，科学史家西姆斯在 1991 年专文讨论过，没有定论。明确描写镜子的，是 12 世纪的两位拜占庭作者：佐纳拉斯的史书（一般认为节录自 3 世纪卡西乌斯·狄奥的佚书）说他倾斜一面镜子聚集日光，烧毁了整支舰队；策策斯则描写了一面六角形的镜子，四周用铰链连着许多小方镜，在一箭之地外把船烧成了灰。

近代的实验各有结果。笛卡尔认为这不可能；布丰在 1747 年前后用许多面平面镜拼成聚光阵，做过远距离点燃木头的实验。1973 年，希腊科学家萨卡斯（Ioannis Sakkas）在雅典附近的斯卡拉曼加海军基地让水兵举起 70 面镀铜镜，约 50 米外一艘涂了焦油的胶合板船模几秒钟就起了火。2005 年，麻省理工学院的一门设计课用 127 面约 30 厘米见方的镜子，在约 30 米外点燃了一艘橡木船模，但条件是晴空无云、目标一动不动地照了约十分钟；课程组特意说明，这只证实了「在原理上可行」的估算，不等于证实了传说。电视节目《流言终结者》先后几次重做，都判定这个传说「不成立」。

死于城破之日

前 212 年，叙拉古陷落。关于阿基米德之死，古代至少流传着几种说法：

• 李维（前 1 世纪末）：城中一片劫掠混乱，他仍专注于画在尘土里的几何图形，被一个不知道他是谁的士兵杀死；马塞勒斯深感痛惜，安葬了他，还寻访并保护了他的亲属。
• 瓦勒里乌斯·马克西穆斯（1 世纪初）：马塞勒斯曾下令饶他性命；士兵闯进他家、举剑问他是谁，他只顾用手护住地上的尘土，说「求你，别弄乱这个」（noli, obsecro, istum disturbare），因而被杀。
• 普鲁塔克（约公元 100 年）一口气列了三说：士兵命令他去见马塞勒斯，他坚持要先把题做完，士兵一怒杀了他；或者士兵本就是来杀他的，他恳求稍等，让他把证明做完；又或者他正带着日晷、球仪和测日径的角规去见马塞勒斯，士兵以为箱子里是黄金，把他杀了。
• 12 世纪的策策斯与佐纳拉斯又加上了他对士兵喝斥「离我的图远点」之类的台词。今天流传最广的拉丁语句子「别碰我的圆」，在上述古典文献里都找不到原文。

几种说法的共同点只有两条：他死于城破时一名罗马士兵之手，马塞勒斯并不希望他死。

西塞罗找到的墓

据普鲁塔克记载，阿基米德生前嘱咐亲友，在他的墓上立一个圆柱外切一个球的图形，并刻上两者的比例——《论球与圆柱》里证明的，圆柱的体积与表面积都是球的 $\tfrac32$。这是他自己最看重的结果。

一百三十多年后的前 75 年，西塞罗任西西里财务官。他在三十年后写的《图斯库卢姆论辩》里回忆：叙拉古人已经不知道这座墓，甚至否认它存在；他记得墓上刻有几行诗，说顶上立着球与圆柱，于是在阿格里真托门外那片密密麻麻的墓地里一处处看，终于发现荆棘丛中露出一根小柱子，上面有球与圆柱的图形。派人砍开荆棘走近，墓志还在，只是各行诗的后半截已经磨蚀，剩下大约一半。他感慨，这座希腊人最有学问的城市，竟要一个来自阿尔皮努姆的人告诉它自己最聪明的公民葬在哪里。

数学：简要一笔

阿基米德在纯数学上的成就远不止本页提到的这些，这里只点两处。《圆的度量》用正 96 边形从内外夹住圆，得出

$$3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$$

《抛物线求积》用几何穷竭法严格证明了弓形面积是三角形的 $\tfrac43$，正是《方法》里先「称」出来的那个结论。他在序言里多次把穷竭法的源头归于欧多克索斯。《数沙者》则估算装满整个宇宙需要多少粒沙，为此发明了表示极大数的办法；书里顺带转述了萨摩斯的阿里斯塔克「地球绕太阳转」的假说，这是那个假说保存至今最早的记录。

身后

他的著作在中世纪几乎只靠少数抄本延续。1269 年的拉丁译本、1544 年巴塞尔的希腊文初版，让文艺复兴的工程师与数学家重新读到了它们。1586 年，斯泰芬在荷兰出版《静水学原理》，伽利略在佛罗伦萨写下《小天平》；1612 年伽利略又写了关于水中浮体的论述。开普勒 1615 年讨论酒桶容积的《新立体几何》，书名里就附着「阿基米德立体几何补编」。惠更斯 1650 年写成三卷《论浮于液体之物》，从「重心尽可能低」这一条公理重新推出了阿基米德原理与浮体的稳定条件。

从公设推出物理定律，先用物理直觉找答案、再用数学补证明——这两种做法后来都成了物理学的日常。