当时的困境
1928 年狄拉克写出了那个把狭义相对论与量子力学缝在一起的方程。它极其成功——自动给出电子的自旋、给出正确的磁矩、预言了正电子。
代价是它有四个分量。四个分量在物理上对应两件事：粒子与反粒子，以及每一种的两个自旋方向。为什么必须是四个？狄拉克方程里那个质量项把它们锁死了：质量项把左旋分量与右旋分量耦合在一起，谁也离不开谁。
这里有一个自然的追问：如果质量为零呢？
当时这个问题不算迫切。已知的费米子只有电子和质子，都有质量。追问它更像是一道数学练习。
洞见时刻
1929 年，外尔在那篇同时给出电磁规范理论的论文里顺手做了这道练习。
结论很干净：质量为零时，四分量的方程裂成两个独立的两分量方程，一个描述左旋粒子，一个描述右旋粒子，两者之间没有任何耦合。
这里的「旋」指的是手性：自旋相对于运动方向是顺时针还是逆时针。有质量的粒子谈不上绝对的手性——它跑得比光慢，你总可以超到它前面去，从新的参考系看，运动方向反了，手性也就翻了。只有以光速运动的粒子，手性才是一个所有观察者都同意的绝对标签。
于是外尔方程描述的是一种天生分左右的粒子。它的镜像不是它自己，而是另一种粒子。
泡利对此很不满意，理由正是这一点：这样的理论天然不满足宇称对称，而当时宇称守恒被当作不言自明的。这个方程被搁置了近三十年。
涟漪效应
1957 年，它差点有了主人。 前一年吴健雄的实验证明弱相互作用宇称不守恒，泡利的反对意见随之失效。李政道与杨振宁等人立刻提出中微子的两分量理论：中微子就是外尔费米子，永远左旋，反中微子永远右旋。这个模型与随后二十年的实验都符合。
1998 年它又失去了主人。 超级神冈探测器观测到大气中微子振荡，而振荡要求中微子有质量——哪怕极小。有质量就不能是外尔费米子。至此，标准模型里没有任何一种基本粒子满足外尔方程。
2015 年它以另一种身份出现。 转机来自凝聚态。晶体中电子的能带在某些点可以线性交叉，交叉点附近的低能激发满足的方程与外尔方程形式完全相同——不是基本粒子，而是准粒子，是电子在周期势场里的集体行为「装扮」成的。2011 年万贤纲等人在理论上指出了这种可能，并预言了它独有的标志：表面上会出现不闭合的「费米弧」，两端各连到一个体内的外尔点上。这在普通材料里不可能发生，费米面必须是闭合的。
2015 年年初，翁红明、方辰、方忠与戴希等人预言砷化钽这一族材料就是外尔半金属；同年，普林斯顿的徐苏杨等人用角分辨光电子谱看到了费米弧，中科院物理所的吕佰晴等人独立做出同样的观测。两组结果几乎同时发表。
外尔本人写下方程时想的是基本粒子。八十六年后它被找到的地方，是一块可以拿在手里的晶体。
它还带来了可用的物理。 外尔点成对出现且手性相反，这使得它们受拓扑保护——不能被微扰单独抹掉，只能成对湮灭。由此产生的手性反常表现为负磁阻：磁场与电流平行时电阻反而下降，这是普通金属里不会有的行为。这一族材料在自旋电子学与红外探测上正被大量研究。
如果没有它
最直接的一条：中微子物理的整个语言。「左手中微子」「手征性」这些词，弱相互作用理论从头到尾都在用，而它们的源头是这个方程。标准模型之所以写成一个左手粒子与右手粒子地位不对等的理论，正是外尔当年那个分裂的数学结构。
更普遍的一条是关于「粒子」这个词的。二十世纪后半叶物理学慢慢接受了一件事：一个方程描述的未必是某种基本的东西，也可能是某种集体行为的低能形态。声子、磁振子、任意子、马约拉纳准粒子、外尔费米子，都是这样。真空里找不到的东西，不等于自然界里不存在——换一种「真空」（一块晶体的基态就是一种真空），它可能就在那里。
这也是外尔那句自述的一个注脚：他说自己在真与美之间通常选美。1918 年他为了统一引力与电磁造了一个美而错的理论，1929 年把它改对；同一篇里那个没有主人的两分量方程，等了八十六年才有人认领。