复本对称破缺

当时的困境

把少量锰原子稀稀拉拉地掺进铜里，做成一块看上去平平无奇的合金，降温。它在某个温度上会出现磁化率的尖点，像发生了一次相变。可是把它拿去做中子散射，找不到任何长程有序——自旋既没有整齐地朝同一方向，也没有一正一反地交替排列。

问题出在相互作用本身。这类合金里两个磁性原子的耦合强度随距离振荡，有的想让两个自旋同向，有的想让它们反向，符号和大小都由原子恰好落在哪里决定，也就是随机的。随便挑三个自旋，它们的三条要求很可能凑不齐一个都满意的排法——这叫阻挫。

1975 年爱德华兹与安德森写下了这类体系的第一个模型，并引入一个绕道的算法：要对随机耦合求 $\overline{\ln Z}$ 几乎算不动，那就先取 $n$ 份一模一样的复本、算 $\overline{Z^n}$，最后让 $n\to 0$。这就是复本技巧。

同一年谢林顿与柯克帕特里克把它改成无穷维版本，得到一个可以精确求解的模型。解出来却是荒唐的：温度趋于零时，熵是负的，约为每个自旋 $-0.16$。熵是状态数的对数，负熵意味着可及状态不到一个。

1978 年德阿尔梅达与索利斯找到了病根。谢林顿与柯克帕特里克做过一个看上去无害的假设：$n$ 份复本地位完全相同，所以描述它们两两重叠的矩阵元全取同一个值 $q$。这个假设太自然了——配分函数的 $n$ 个因子本来就只是标了个号，交换它们不改变任何东西。可这两人证明，在低温下这个「复本对称」的解根本不是极小值。

方向清楚了：复本对称必须自发破缺。但不对称的矩阵有无穷多种，谁也不知道该往哪儿走。

洞见时刻

帕里西是从旁边撞进来的。1978 年底他在做高维格点规范理论，中间要处理分支聚合物，去图书馆翻文献时第一次见到复本方法，同时读到一句话：这个方法用在自旋玻璃上会给出错误的结果。他立刻想知道为什么。

试了很多种矩阵，都不像样。然后他注意到一件事：此前几个人的做法是把 $n$ 份复本切成 $n/m$ 组、每组 $m$ 份，而所有人都默认 $m$ 是整数——有人取 2，有人推广到任意整数，甚至取 $m\to\infty$。

帕里西假定 $m$ 可以是 0 到 1 之间的小数。

字面上，这意味着把 $n$ 份复本分成 $2n$ 组，每组半份复本。他自己承认这讲不通，但他的态度很干脆：先看看这个疯念头会不会给出正确的结果，别的问题留到以后。他给自己找的先例是雷杰极点——非整数的角动量听上去同样荒唐，却是一条真路。

算出来的比热和能量与数值模拟对上了，零温熵从 $-0.16$ 升到 $-0.01$：还是负的，但已经贴着零。

审稿人的回复值得原样抄下来：这个做法讲不通，但公式给出的数字是合理的，所以可以发表；论文末尾那段话不值得占用它印在上面的那张纸，应该删掉。

被要求删掉的那段，正是他猜测把分组无限重复下去才能得到正解。而在意见回来之前，他已经把它做完了。分组、再分组、再分组，重复无穷多次之后，两份复本之间的重叠不再取单一的值，而是有一整个分布；描述它的不再是一个数 $q$，而是一整条定义在 $[0,1]$ 上的函数 $q(x)$。

这条函数的物理含义是：这块材料冻住时不是掉进一个基态，而是掉进无穷多个平衡态，它们之间隔着高得爬不过去的势垒；而且这些态的组织方式很特别——1984 年梅扎尔与帕里西等人证明，任取三个态，两两之间的三个距离里必有两个相等且不小于第三个。这叫超度量性，态空间的结构是一棵树。

自旋玻璃与铁磁体的区别就在这里。铁磁体只有两个纯态，向上和向下；自旋玻璃有无穷多个，而且它们是分层嵌套的。

涟漪效应

这套语言随后离开了自旋玻璃，去到一切「一大堆个体 + 随机的局部约束」的地方。

神经网络。 1982 年霍普菲尔德提出一个用自旋描述记忆的网络模型：存进去的每一段记忆，就是能量景观里的一个局部极小。1985 年阿米特、古特弗罗因德与索姆波林斯基用自旋玻璃的方法解出了它——一个 $N$ 个神经元的网络最多能存约 $0.14N$ 段记忆，超过这个数，所有记忆会一起崩掉。多重记忆与多重平衡态，是同一件事。今天讨论深度网络的损失景观、讨论为什么梯度下降能在一个高维非凸的地形里找到好解，用的仍是这套词汇。

优化问题。 旅行商问题、图着色、3-SAT 都可以写成一个带随机约束的能量函数。用这套方法能算出它们在什么参数下从「几乎总能解开」突变成「几乎总解不开」——一个可满足性相变。这解释了为什么有些优化问题容易、有些极难：难的那些，解空间碎成了无穷多个互相隔离的团。顺带，这一行还催生了模拟退火这种被用滥了的算法。

玻璃与堆积。 把一堆硬球倒进容器摇实，它们卡住时的构型也是无穷多个。用复本方法算出的硬球堆积相图，从二维一直算到无穷维，与颗粒物质实验和数值模拟都对得上。

严格化。 帕里西自己很怀疑有谁能证明这一切成立。2002 年古埃拉引入一个插值技巧，证出自由能不小于复本公式给出的值；几个月后塔拉格朗把这个论证反过来用，补上了另一半，于是一个 1980 年被审稿人说「讲不通」的表达式成了定理。后来潘琴科又证明超度量性也是必然的。

2021 年的诺贝尔物理学奖颁给帕里西，理由是「发现从原子到行星尺度的物理系统中无序与涨落的相互作用」。另一半颁给真锅淑郎与哈塞尔曼的气候建模——把这三个人放在同一年，本身就是对「复杂系统是一门物理」的一次表态。

如果没有它

最直接的一条：少了它，自旋玻璃就还是一个解出来带负熵的模型，也就是一个明摆着算错了却不知道错在哪的模型。

更要紧的是它留下的那个观念。在此之前，物理学处理相变的标准套路是找一个破缺的对称性，写一个序参量，那个序参量是一个数。复本对称破缺给出的第一个反例是：序参量可以是一整条函数，因为体系的低温相不是一个态，而是一族有层级结构的态。此后，「无序 + 阻挫 $\Rightarrow$ 多重平衡态」成了描述复杂系统的通用模板，玻璃、颗粒、蛋白质折叠、神经网络、组合优化都从这里借词。

它还留下了一个没补上的窟窿，而且帕里西本人从不掩饰：复本技巧本身——取 $n$ 份复本再让 $n\to 0$——至今没有严格的数学地位。结论已经被数学家用别的方法证成了定理，但那条通往结论的原路，仍然是一步讲不通的操作。用他自己的话说，那里大概还藏着一些没被证明的、深一点的数学。