希尔伯特空间

当时的困境

1925 到 1926 这两年，量子力学被发明了两次。

海森堡、玻恩与约尔当的版本里，物理量是矩阵——无穷大的方阵，相乘不可交换，能级是它的本征值。这套东西计算上有效，但没人说得清那些矩阵是什么东西的矩阵。

薛定谔的版本里，电子是一个在空间中弥散的波函数，满足一个偏微分方程。这套东西看得见摸得着，用的又是物理学家熟悉的数学工具。

两套理论给出的能级完全一样。这既让人安心，又让人不安——凭什么？一个是离散的代数，一个是连续的分析，它们看起来毫无共同之处。薛定谔本人 1926 年写过一篇论文证明两者等价，但那个证明用的是一堆技术性的对应，读完并不让人觉得懂了。

狄拉克 1927 年的变换理论把事情往前推了一大步，代价是用了一个数学上讲不通的东西：$\delta$ 函数——一个除了一点之外处处为零、积分却等于 1 的「函数」。它好用得惊人，但当时的数学里没有它的位置。

于是量子力学处在一个奇怪的状态：算得极准，说不清自己在算什么。

洞见时刻

答案早在二十年前就备好了，只是没人知道它是给量子力学准备的。

1904 年起，希尔伯特为了研究积分方程，处理了一类「无穷多个分量的向量」：分量的平方和收敛，两个这样的向量之间可以定义内积，因而可以谈长度、谈夹角、谈正交。他还发展了这类空间上算符的谱理论——一个算符的「谱」，把有限维矩阵的本征值概念推广到了无穷维，而且允许连续的部分。

1927 年，二十三岁的冯·诺伊曼在哥廷根做希尔伯特的助手，同时在听关于量子力学的争论。他看出了那个对应：

海森堡的矩阵与薛定谔的波函数，是同一个空间里的同一个向量在两组不同基底下的分量。 矩阵力学用的是能量本征态那组基，波动力学用的是位置本征态那组基。就像同一个箭头在两套坐标系里有两组坐标，说它们「等价」不再需要技巧性的证明——它们本来就是一回事。

1930 年他在《数学年鉴》上把这套空间的一般理论写完，并给它取了名字：希尔伯特空间。1932 年的《量子力学的数学基础》则把整个理论重新奠基：

• 态是希尔伯特空间中的单位向量
• 可观测量是自伴算符，测量的可能结果是它的谱
• 概率是态在本征子空间上的投影长度的平方
• 演化分两类：不测量时按薛定谔方程幺正地演化，一测量就投影

$\delta$ 函数在这套框架里被谱测度取代，不再需要一个不存在的函数。三十年后施瓦茨的分布理论又从另一头把 $\delta$ 函数正名了，但那是后话。

涟漪效应

它把测量问题摆上了台面。 冯·诺伊曼明确指出，上面那两类演化谁也推不出谁：幺正演化是连续、可逆、确定的，投影是瞬间、不可逆、随机的。一套理论里并存两条互不相容的动力学规则，这道缝隙从此成了量子力学基础问题的核心，一直通向后来的多世界诠释、退相干与贝尔实验。

它给了量子力学一个可以推广的骨架。 自旋、全同粒子、多体系统、量子场论，都是换一个希尔伯特空间而已：两个系统合起来取张量积，全同粒子取对称或反对称子空间。「纠缠」这个概念之所以能被精确定义，正是因为有张量积——一个不能写成两个子系统态之积的向量，就是纠缠态。

量子信息整个建立在它上面。 一个量子比特就是二维希尔伯特空间里的单位向量；$n$ 个量子比特是 $2^n$ 维；量子门是幺正算符；量子算法的全部内容是在这个空间里选一条路径。量子计算相对经典计算的优势，直白地说就是那个指数增长的维数。

它也长回了数学。 泛函分析、算符代数、谱理论此后成了独立的大学科；冯·诺伊曼代数最初就是为量子力学造的，今天在统计力学、共形场论、乃至纽结不变量里都在用。

如果没有它

最直接的一条：矩阵力学与波动力学会一直是两套并行的技术，而不是一套理论的两种写法。物理学史上这样的局面通常意味着还有一层没看到。

更深一层的损失是「可以精确提问」这件事。测量问题、隐变量能不能存在、纠缠有多强、一个态能不能被克隆——这些问题之所以能有确切答案而不是各说各话，前提是先有一个确切的数学对象可供讨论。贝尔 1964 年之所以能把爱因斯坦与玻尔的争论变成一个可以做实验的不等式，正是因为「量子力学预言什么」已经是一件毫不含糊的事。

这也是希尔伯特 1900 年在巴黎提的第六个问题——把物理学公理化——唯一被彻底完成的一次。有意思的是，完成它的不是他自己，而是他的助手；而被公理化的那门物理，在他提出问题时还不存在。