当时的困境
十六世纪的大学里，落体问题的标准答案来自亚里士多德：重物落向大地，是在回到自己的「自然位置」；越重落得越快，介质越稀落得越快。石头离了手还往前飞，则要靠身后的空气一层层推着它。这套理论在空气和水里大体对得上日常经验，站内亚里士多德页专门讲了它为什么能站住两千年。
裂缝早就有。6 世纪的注释家菲洛波努斯说，从同一高度放下轻重悬殊的两个物体，下落时间的差别非常小；14 世纪巴黎的布里丹把「推动者注入物体的能力」发展成冲力说，认为没有阻力时冲力会一直保持下去。但两人都没有离开亚里士多德的框架：菲洛波努斯仍认为重的落得快一些，布里丹的冲力也不是一条数学规律。
真正动手去试的，是荷兰工程师斯泰芬。他在《称量术》的附录里反驳亚里士多德时写道：
取两个铅球，一个比另一个大十倍、重十倍，让它们从 30 尺高处一起落到一块木板或别的能发出清楚声响的东西上，就会看到，轻的那个在路上并没有多花十倍的时间，两个球一齐落到板上，两声听起来就像一声。
他接着用一小撮羊毛和一磅重、捆紧的羊毛包比落五六尺，羊毛落得慢得多——在他看来，差别来自物体表面受到的空气阻力，而不是重量本身。这段话里同他一起做实验的是代尔夫特的市政官员 Jan Cornets de Groot；原文没有说在哪里扔的，今天代尔夫特新教堂塔楼的说法出自后人。本页所见的是 1605 年版《数学札记》所收的荷兰文本，常见的「1586 年」是斯泰芬《称量术》初版的年份。
年轻的伽利略当时也不同意亚里士多德，却还没找到正确的答案。他在比萨任教时写下、生前没有发表的《论运动》里，按阿基米德的思路，把下落快慢归于物体与介质的比重之差，并认为落体是匀速的。他在书里承认，真从塔上放下两个物体，结果与任何比例都对不上，「轻的那个在开始时还会领先」。
难处有两层。一是落得太快：从塔顶落到地面只要两三秒，手头最好的计时器是水钟和脉搏。二是概念：「越落越快」到底是速度随下落的距离增加，还是随时间增加？这两种说法在十七世纪初的学者听来差不多，数学后果却完全不同。
洞见时刻
先猜对结论，再找对理由。 据 Drake 与 Naylor 对伽利略手稿的研究，1604 年前后，已在帕多瓦任教的伽利略得到了「下落距离与时间的平方成正比」和奇数律；但他 1604 年 10 月写信给萨尔皮时，推导的出发点还是「速度与下落距离成正比」——这个前提其实推不出他要的结论。到 1638 年的《两门新科学》，他改成速度与时间成正比，并用几何证明：匀加速运动走过的路程，等于以末速度的一半匀速运动同样时间所走的路程。于是
第三天的推论一接着指出：从静止开始，把时间切成相等的段，每一段里走过的路程之比是 1 : 3 : 5 : 7 ……即
这条奇数律其实早在 1632 年的《关于两大世界体系的对话》里就已印出。用第一段的路程作单位，前 段加起来正好是 。
把下落放慢。 伽利略的办法是让球沿斜面滚下：重力只有一小部分沿斜面起作用，同样的规律被拉长到可以计时的程度。《两门新科学》第三天，萨尔维亚蒂描述了这套装置：一根约 12 腕尺长、半腕尺宽、三指厚的木条，在边上开一道一指多宽的槽，刨直打光，再衬上尽量光滑的羊皮纸；让一个坚硬、光滑、滚圆的青铜球沿槽滚下，槽的一端抬高一到两腕尺。计时用水：高处一只大水桶，底部焊一根细管，球滚动期间流出的水接进小杯，再放到精密天平上称，重量之比就是时间之比。
他说同一段路反复测量，两次之间的差别从未超过脉搏一跳的十分之一；滚四分之一的长度，用时正好是全长的一半；换成一半、三分之二、四分之三……「整整重复了一百次」，路程之比总是时间之比的平方，而且在各种倾角下都成立。
这段叙述是否夸大，史家争论过很久。1961 年 Settle 按书里的描述造了一套斜面和水钟，结果表明这样的精度是做得到的。Drake 1973 年解读了伽利略手稿中一页没有文字说明的数据，认为伽利略可能是凭音乐节拍把相等的时间段分出来的；这一解读有人赞同也有人质疑，但手稿里的斜面测量本身是真实存在的。
不做实验也能驳倒。 同一本书的第一天，伽利略用一个思想实验攻击「重物落得更快」的前提。设大石头的自然速度是 8，小石头是 4。把两块绑在一起：慢的会拖住快的，整体应慢于 8；可绑在一起的石头比原来的大石头更重，按亚里士多德应快于 8。同一个前提推出两个相反的结论，前提只能是错的。
辛普里丘反驳说小石头压在大石头上，总会增加重量。萨尔维亚蒂的回答是：一起自由下落时，上面那块并不压下面那块，就像你追不上一个和你跑得一样快的人，就刺不到他。他把结论限定在「比重相同」的物体之间，并算了空气的影响：铅比空气重约一万倍，乌木只重约一千倍，空气从两者的速度里扣掉的份额相差十倍，但都很小。书里的萨格雷多说，他试过从 200 腕尺高处同时放下一两百磅的炮弹和半磅的枪弹，炮弹领先不到一拃；萨尔维亚蒂也承认实际下落时大球会领先「两指宽」，只是不许对方拿这两指宽，去遮住亚里士多德比例里「九十九腕尺」的大错。
比萨斜塔。 伽利略本人的著作里从没提过在比萨斜塔上做实验。这个故事出自他晚年的学生维维亚尼：1654 年他写给莱奥波尔多·德·美第奇亲王的《伽利略生平历史叙述》里说，伽利略在比萨任教时，「在其他讲师、哲学家和全体学生在场的情况下，从比萨钟楼的高处反复做实验」，证明同一材料、不同重量的物体以相同的速度下落。这份叙述写于事后六十多年，据维维亚尼自述，材料大部分出自伽利略本人的口述和他的著作。
对这段记载的可信度，科学史家争论了一个多世纪，Segre 1989 年的论文专门梳理过这场争论。能确定的是两件事：伽利略在《论运动》里确实提到过从塔上放下物体，但写下的结果是「轻的在开始时领先」，而不是齐落；他后来真正拿来立论的，是斜面上的测量和那个思想实验。
圆周的惯性。 落体只是一半。另一半是：没有东西推，运动会不会停？伽利略在 1632 年《对话》第二天里一步步引着辛普里丘承认：球在下倾的面上会自己越滚越快，在上倾的面上会越滚越慢；那么在一个既不上倾也不下倾的面上，给它一推，它就会一直滚下去，「永恒地」。可什么样的面才既不上倾也不下倾？萨尔维亚蒂的回答是：处处与地心等距的面——也就是绕地球的球面。
《两门新科学》第四天推导抛体时，他写的是「在没有摩擦的水平面上，只要平面没有尽头」，运动就匀速而永恒；球一离开平面的边缘，再叠加上自由落体，合成的轨迹是半条抛物线。书中的辛普里丘立刻指出：一条直的水平线离地心越来越远，等于一路上坡，运动不可能保持匀速。萨尔维亚蒂全部承认，只是借用了阿基米德把天平杆当成直线的做法：炮弹的射程不过几英里，而地心在几千英里之外，这点偏差可以忽略。
伽利略心里的「惯性」，因此是一种以地球为中心的水平运动，常被称为圆周惯性。他从没把它写成「一切不受外力的物体做匀速直线运动」这样的普遍定律。
直线。 这一步由别人跨出。据《斯坦福哲学百科》，伽森狄 1642 年在《论推动者传给物体的运动》里讨论过在行驶的船上从桅杆顶放下重物，从中引出了比伽利略更一般的惯性原理。1644 年，笛卡尔在《哲学原理》第二部分第 37 条写下第一条自然律：每一件东西，只要在它自己的能力之内，总保持同一状态，一旦运动就一直运动下去；第 39 条是第二条：一切运动就其本身而言都是直线的，做圆周运动的东西总倾向于沿切线离开中心。这两条合起来，已经是今天的惯性定律（笛卡尔 1633 年写成、身后才出版的《世界》里已有这些规则；他的朋友贝克曼的日记里也有类似想法）。
1687 年，牛顿在《自然哲学的数学原理》里把它立为第一定律：
每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用迫使它改变这种状态。
他在定律后面的附注里写道，伽利略正是凭前两条定律和前两条推论，发现了落体下落的距离与时间的平方成正比、抛体沿抛物线运动。
涟漪效应
第一次量出 。 伽利略给的是比例，不是数字；他在 1632 年《对话》里说一百磅的铁球从 100 腕尺高处落下要 5 秒，这个数偏大。据 Graney 的介绍，耶稣会士里乔利与格里马尔迪等人在博洛尼亚近百米高的阿西内利塔上，用校准过的摆计时，多次放下重球：1 秒落 15 罗马尺，2 秒 60 尺，3 秒 135 尺，正是平方关系。结果写进 1651 年出版的《新天文学大成》。用他的数据拟合，得到 约为 9.4 米每二次方秒，与今天的 9.8 相差约 5%。
抛物线与弹道。 水平方向的匀速运动与竖直方向的自由落体可以各自独立地叠加，这个想法让抛体问题第一次有了定量的答案。《两门新科学》第四天的射程表，是弹道学的起点；后来算人造卫星和飞船轨道，用的仍是同一种拆分方式，只是把「水平面」换回了球面、把平行的重力换成了指向地心的引力。
惯性系。 惯性定律一旦成立，「在做匀速运动」和「静止」就无法从内部区分。伽利略在《对话》里用大船船舱的例子讲过这一点，用来回答「地球在转，我们为什么感觉不到」。这个想法经牛顿的绝对空间、马赫的批评，一路通到爱因斯坦的相对性原理；傅科摆与陀螺仪所依赖的，正是运动在惯性空间里保持不变。
等效原理。 「一切物体落得一样快」本身成了物理学最严格检验过的命题之一。牛顿用装着不同材料的摆检验过它；在牛顿理论里，它意味着引力质量与惯性质量相等，这个未加解释的巧合后来成了广义相对论的出发点。2022 年，法国的 MICROSCOPE 卫星在轨道上比较钛合金与铂合金两个检验质量的自由下落，两者加速度的相对差别被限制在约 以内，没有发现任何差异。
月球上的演示。 1971 年 8 月，阿波罗 15 号第三次月面行走结束前，指令长斯科特对着电视镜头，同时放开一把 1.32 千克的铝制地质锤和一根隼的羽毛，从约 1.6 米高处落下。没有空气，两者同时落地。他在镜头前提到了伽利略。
如果没有它
没有伽利略，落体的平方律大概不会失传太久：斯泰芬已经听见两个铅球砸出同一声响，里乔利在阿西内利塔上的测量也有独立的动机。难的是另外两件事。
一是把「理想情形」当成规律本身。伽利略承认两指宽的差别，承认水平线其实会上坡，却坚持真正的规律要在去掉空气、去掉摩擦之后去找——这是从亚里士多德「我们看到」的物理，转向「我们推断」的物理。没有这一步，斯泰芬的铅球和羊毛只会被当成两个互不相干的现象。
二是惯性。只要人们还认为运动需要推动者，天上的行星为什么不停、地球转动时地上的东西为什么不被甩在后面，就都得另找解释。伽利略的圆周惯性帮哥白尼体系挡住了最有力的一批反驳，笛卡尔把它掰直，牛顿再把它放在力学的第一条。没有这条定律，就无从谈起「力改变运动」——万有引力定律也就缺少了施力的对象。