分数量子霍尔效应

当时的困境

1980 年冯·克利青发现霍尔电阻落在 $h/e^2$ 的整数分之一上（见本站「量子霍尔效应」页）。那个整数效应有一个让人安心的解释：强磁场把二维电子的能量切成一级级朗道能级，每填满一级，霍尔电导就跳一个台阶。电子之间的相互作用在这幅图里无关紧要，一个电子一个电子地数就够了。

可当磁场继续加大、最低的朗道能级都填不满时，这幅图就没话可说了。一级能级里的状态多于电子，单电子图像给不出任何能隙，也就不该有平台。人们对这个区域的期待是另一种东西：理论早就预言，电子密度足够低时，电子之间的库仑排斥会压过动能，让它们排成规则的格子——维格纳晶体。

要看到任何一种相互作用主导的物态，样品必须足够干净。转机来自贝尔实验室的材料工艺。1977 年，那里的四位研究者想出了调制掺杂：把提供电子的杂质原子放进砷化镓旁边的铝镓砷层里，电子落进砷化镓一侧的界面，与留下的带电杂质隔开一段距离，散射大为减少。1978 年的论文报告，这样得到的电子迁移率超过了当时理论认为的极限。再加上分子束外延一层一层地长晶体，戈萨德和他的助手魏格曼长出了当时最干净的二维电子样品。

崔琦与施特默的想法很直接：把迁移率最高的样品放进最强的磁场里，看电子会做出什么。他们要找的，正是维格纳晶体。

洞见时刻

1981 年 10 月初，两人带着一块迁移率 90,000 cm²/Vs 的样品，去了麻省理工学院的弗朗西斯·比特国家磁体实验室。施特默在演讲图注里标的数据日期是 10 月 7 日：他们先在 4.2 K、再在 1.5 K 下扫磁场。最后一个整数台阶在约 5 特斯拉；到了约 15 特斯拉，霍尔电阻上意外地又出现了一个平台，纵向电阻同时降到一个极小值。

施特默在诺贝尔演讲里记下了接下来的一幕：崔琦用一只手的两根手指比出从零磁场到最后一个整数台阶的距离，拿这个长度去量新特征的位置，量出来是 3 倍，脱口而出：「夸克！」施特默写道，这显然是玩笑，却凭着直觉点中了数据的本质。平台所在的位置，是最低朗道能级恰好被填满三分之一的地方，霍尔电阻等于 $3h/e^2$。

他也写得很坦白：「当时，我们并不知道自己发现了什么。」1982 年发表的论文猜测，原因可能是维格纳晶体或某种电荷密度波，同时已经指出，如果整数效应的论证仍然适用，就意味着存在带三分之一电荷的准粒子。

答案来自劳克林，他在 1983 年初投出的论文里写下了一个波函数：

$$\Psi_m = \prod_{j<k} (z_j - z_k)^m \, \exp\!\Big(-\frac{1}{4\ell^2}\sum_j |z_j|^2\Big)$$

$z_j$ 是第 $j$ 个电子在平面上的位置（写成复数），$\ell$ 是磁长度。关键在连乘里的那个因子：任意两个电子靠近时，波函数以 $m$ 次方的速度趋于零，电子彼此回避得远比单电子态里更彻底。电子是费米子，交换两个电子波函数必须变号，所以 $m$ 只能取奇数；$m=3$ 正好对应三分之一填充。

这个态不是晶体，而是一种液体，而且不可压缩：想把它挤得更密，就必须制造出新的激发，而那要花一份有限的能量——这份能隙就是平台存在的原因。更奇特的是它的激发。在液体里挖出一个「洞」，对应的准粒子带的电荷是 $e/m$，在三分之一态里就是 $e/3$。没有哪个电子被劈开，是亿万个电子的集体运动凑出了这份电荷。

诺贝尔委员会后来用一句通俗的话描述这件事：在三分之一填充时，每个电子仿佛俘获了三个磁通量子，变成一种可以凝聚的新粒子。1998 年的诺贝尔物理学奖授予崔琦、施特默与劳克林，理由是「发现了一种具有分数电荷激发的新型量子流体」。

涟漪效应

平台越找越多。 1/3 之后，2/5、3/7 等一连串分数陆续出现。1983 至 1984 年，霍尔丹、霍尔珀林与劳克林各自提出「层级」理论，把这些分数看成在低一级的态上逐层叠加准粒子的结果。劳克林在 1998 年的诺贝尔演讲里说，已发现的分数量子霍尔态有「30 来个」；到 2014 年，一篇综述给出的数字是约一百个。

准粒子不是玻色子，也不是费米子。 1984 年，阿罗瓦斯、施里弗与维尔切克证明，这些准粒子交换位置时波函数获得的相位是一个分数，与它们的分数电荷密切相关。这种只能存在于二维的粒子叫任意子。

分数电荷被直接测到。 1997 年，以色列魏茨曼研究所与法国萨克雷的两个小组分别测量电流中的散粒噪声——电流由一份份电荷组成，噪声的大小会暴露每一份有多大——都得到 $e/3$。诺贝尔委员会打的比方是：好比在冰雹声里分辨出每一颗冰雹，并确定它们只有正常大小的几分之一。

复合费米子。 1989 年，贾恩提出一幅更简洁的图像：每个电子绑上偶数个磁通量子，变成「复合费米子」；这些新粒子感受到的有效磁场变小，电子的分数效应就是复合费米子的整数效应。按照这幅图，半满的朗道能级上有效磁场为零，复合费米子会形成一片费米海——1993 年霍尔珀林、李与里德的理论把这一点做实了。

5/2 与拓扑量子计算。 1987 年，威利特、施特默、崔琦等人在第二朗道能级发现了一个偶分母平台 5/2，这是奇数规则之外的东西。1991 年，摩尔与里德提出了一种候选态，其中的准粒子服从非阿贝尔统计：交换顺序不同，体系会落到不同的量子态上。把信息记在这样的交换历史里，局部扰动很难破坏它——这就是拓扑量子计算的出发点。5/2 态被广泛认为是非阿贝尔态的主要候选，但这一点至今没有被实验确证。

看见任意子的交换。 2020 年，巴黎高师的小组让 1/3 态的任意子在分束器上「对撞」，从电流关联里提取出交换相位 $\pi/3$；普渡大学的小组用电子干涉仪看到了与任意子编织相符的相位跳变。两项实验都与理论预言一致。

离开砷化镓，也离开磁场。 2009 年，包括施特默在内的哥伦比亚大学小组和罗格斯大学的小组在悬空石墨烯里看到了分数量子霍尔效应。2023 年，零磁场下的分数量子霍尔效应在转角双层二碲化钼（MoTe₂）里被观测到——电子自身的相互作用破缺时间反演对称，取代了外加磁场的角色。独立报告这一结果的实验组中，有华盛顿大学的小组，也有上海交通大学李听昕、刘晓雪团队；2024 年，麻省理工学院的小组又在多层石墨烯里看到了同类现象。

材料本身也在进步。普林斯顿大学的小组 2022 年报告的砷化镓二维电子迁移率约为 5700 万 cm²/Vs，是 1981 年那块样品的六百多倍；更干净的样品里还在不断冒出新的分数态。

如果没有它

整数量子霍尔效应让人相信，拓扑可以让一个物理量精确到十亿分之一；分数效应则让人意识到，拓扑物态不必来自单个电子的能带，而可以从电子之间的相互作用里涌现出来。 劳克林的液体不靠任何对称性的破缺来定义，却有能隙、有分数电荷、有任意子。1990 年文小刚提出「拓扑序」这个概念，要描述的正是这一类态。

它也改变了人们对「基本」一词的看法。三分之一个电子电荷，曾经只在夸克身上出现过；崔琦那声玩笑般的「夸克」，指向的是同一种分数，只不过这一回它从一块半导体里亿万个普通电子的集体行为中长出来。粒子物理学家追问什么是不可再分的，凝聚态物理学家在这里给出了另一种回答：一个激发带多少电荷、服从什么统计，可以由集体决定。

至于拓扑量子计算，它还是一个没有兑现的承诺。但在这个方向上被寄予厚望的候选物态里，有一族正是从 1981 年 10 月那个意外的平台开始的。