当时的困境
十八世纪中叶，力学已经相当自信。牛顿定律加上欧拉的微积分写法，行星、单摆、陀螺、弹性梁都算得动。
但水不行。
麻烦不在于没有定律可用，而在于不知道该把定律用在什么东西上。牛顿第二定律说的是「一个物体」的加速度等于力除以质量。可一条河里没有「一个物体」：你盯住的那团水下一刻就变形了，与旁边的水混在一起，说不清哪一部分还是原来那一部分。
伯努利父子、达朗贝尔都做过尝试，得到的多是特殊情形下的关系式——比如管道里流速快的地方压强低。一套能写下来、可以对任意流动求解的方程，没有。
而且当时已经有一个刺眼的悖论。1752 年达朗贝尔证明：在理想流体里，一个物体匀速运动所受的阻力等于零。这与任何一个划过船的人的经验直接冲突。
洞见时刻
1757 年欧拉在柏林科学院的论文里做了一件在今天看来理所当然、在当时却是全新的事：他不去追踪某一团水，而是盯住空间里的一个点，问那一点上的流速随时间怎么变。
这个视角的转换让牛顿定律可以被写下来。方程的左边是加速度，但它有两项：一项是那一点上的流速随时间的变化，另一项是流体把不同速度的邻居搬运过来造成的变化。右边是压强的梯度和重力。再补一条：不可压缩的流体不能凭空多出来，进出一个小盒子的量必须相等。
那个搬运项 是全部麻烦的来源：流速自己乘自己，方程是非线性的。两个解加起来不再是解，叠加原理失效。牛顿力学此前处理的问题几乎都是线性的或可以线性化的，这是第一次不能。
至于达朗贝尔佯谬，欧拉的方程解释不了——因为它确实是这组方程的正确推论。理想流体里没有黏性，也就没有摩擦。真实的阻力必须来自被欧拉略去的那一项。
涟漪效应
补上黏性。 1822 年纳维、1845 年斯托克斯各自把黏性加了进去，得到纳维-斯托克斯方程。但方程有了，达朗贝尔佯谬并没有马上解开：黏性小到几乎可以忽略，为什么阻力却一点也不小？答案要等到 1904 年普朗特的边界层：黏性只在紧贴物面的一薄层里要紧，这一层从物面脱开、卷成涡，阻力由此而来。
发现湍流是一个相。 1883 年雷诺往水管里注入一缕染料，慢慢加大流速：染料先是笔直的一条线，过了某个临界点突然散开、充满整个管道。他找出了判据——一个由流速、管径、黏性组成的无量纲数，今天叫雷诺数。层流与湍流的分界不是渐变的，是一次转变。
混沌的源头之一。 1963 年洛伦茨把大气对流的方程截断成三个变量，发现解对初始条件极端敏感。天气预报之所以有个两周左右的上限，根子就在这组方程的非线性上。
今天它是被算得最多的方程。 天气预报、气候模型、飞机与汽车的外形、发动机燃烧、血液流动、河道与港口工程、乃至电影里的水和烟，本质上都是在数值求解这组方程。全球最大的一批超级计算机，相当一部分机时花在这件事上。
它还是一道悬赏题。 三维不可压缩纳维-斯托克斯方程，给定光滑的初始条件，解会不会在有限时间内变得无穷大？没人知道。这是克莱数学研究所七个千禧年难题之一，悬赏一百万美元，至今未解。
如果没有它
抽掉它，先没的是天气预报——不是精度变差，而是这件事根本无从做起。数值天气预报的全部内容，就是把这组方程连同热力学一起在网格上往前推。海洋环流、洋流对气候的调节、厄尔尼诺，同样如此。
工程上则要退回到全靠试验的年代：机翼、螺旋桨、涡轮叶片、管道，每一次改动都得重新做风洞或水槽。今天这些先在计算机里算过几百轮，再进风洞验证。
还有一件更抽象的损失。这组方程是物理学第一次正面撞上非线性：叠加原理不成立、小扰动可能被指数放大、简单的方程可以产生看不出规律的解。湍流至今被称作经典物理最后一个未解的大问题；而混沌、分岔、标度律这一整套后来遍布各个学科的语言，最早都是在跟这组 1757 年的方程较劲时长出来的。