库珀对

当时的困境

到 1950 年代中期，超导的线索已经指向同一个方向：同位素效应说明晶格振动参与其中，弗勒利希说明电子可以借晶格振动相互吸引。缺的是一个机制，能把这点吸引变成一种全新的物态。

这点吸引弱得可怜。它要先抵掉电子之间本来的库仑排斥，剩下的净吸引只存在于费米面附近一层很薄的能量壳里，厚度大约是晶格振动的能量，比电子的典型能量小两个数量级。而在真空里，量子力学说得很清楚：三维空间中两个粒子之间的吸引必须强过某个门槛才能形成束缚态，太弱的吸引只会让它们擦肩而过。照这个标准，金属里的电子根本不该配得成对。

另一条路也走不通。1954 年前后，沙夫罗特提出超导体里的电子也许先两两结成紧密的「分子」，这些带电玻色子再像液氦那样凝聚。图像很漂亮，可没人说得出是什么力能把两个电子拴得那么紧，这套理论也始终没能给出与实验定量相符的结果。

洞见时刻

1955 年底，库珀把问题砍到了只剩两个电子：费米海已经填满，不去管它；在它上面放两个电子，打开一点吸引，看会发生什么。

费米海改变了游戏规则。泡利原理不许这两个电子掉进海里已经被占的状态，它们能用的只有费米面以上的那些态；而费米面附近的态密度几乎是一个常数，问题的数学结构因此变得和低维情形一样——在一维、二维里，任意弱的吸引都有束缚态。库珀算出的结果是

$$E \approx 2E_F - 2\hbar\omega_D\, e^{-2/N(0)V}$$

$2E_F$ 是两个电子各自贴着费米面时的能量，$N(0)$ 是费米面上的态密度，$V$ 是吸引强度，$\hbar\omega_D$ 是晶格振动的能量尺度。只要 $V>0$，无论多小，指数项都不为零，这对电子的能量就低于 $2E_F$——它们被束缚住了。

这个公式里藏着过去半个世纪失败的原因。$e^{-2/N(0)V}$ 这个函数在 $V=0$ 处的各阶导数全都是零，无法展开成 $V$ 的幂级数。于是无论微扰论算到第几阶，得到的都是零；新物态就站在那里，却对这种算法完全隐形。

配成的这一对也和沙夫罗特设想的「分子」完全不同。两个电子动量相反、自旋相反，总动量为零；它们在空间里的关联尺度由 $\hbar v_F/\Delta$ 决定，在铝里长达一微米以上，里面挤着上百万个其他电子。所谓成对，是动量空间里的一种关联，而不是两个粒子手拉着手。

库珀自己也清楚这个计算的软肋：他只让两个电子配对，其余电子都当成不动的背景。可如果任意两个都能配，费米海本身就是不稳定的，所有电子都会卷进来。怎么写出亿万对共存的状态，要等第二年初施里弗的波函数。但这一步确立了最核心的判断：只要有吸引，费米面就一定会失稳。

涟漪效应

配对最直接的证据来自「2」这个数。一个超导环里被囚禁的磁通只能是某个最小单位的整数倍，而这个单位里的电荷应当是载流子的电荷。1961 年，斯坦福的迪弗与费尔班克、慕尼黑的多尔与内鲍尔各自测出了磁通量子，数值是 $h/2e$ 而不是 $h/e$。同一期里，拜尔斯与杨振宁给出了理论解释。电流的承载者是电荷为 $2e$ 的对，从此不再是推测。1987 年，高温超导体刚被发现不久，伯明翰的一个小组在钇钡铜氧环里测到的仍然是 $h/2e$——那里的配对机制至今没有定论，但电子成对这件事没有变。

配对也离开了金属。1958 年，玻尔、莫特尔森与派因斯注意到偶偶核的激发谱底部有一道能隙，与超导体如出一辙：原子核里的质子与中子也在两两配对。原子核转动惯量比刚体小得多、质量上的奇偶差异，都在这个框架里得到了解释。

1972 年，康奈尔大学的奥谢罗夫、里查森与李在不到三毫开尔文的液氦-3 里看到了新的相。氦-3 原子是费米子，它们的配对和金属里的电子不同：两个原子带着一个单位的相对角动量、以自旋三重态成对，于是一对原子本身就有朝向，液体因此出现了几个性质各异的超流相。这种「非 s 波」配对此前已被理论家预言过，莱格特随后给出了完整的解释。三位实验者 1996 年获诺贝尔奖，莱格特 2003 年获奖。

铜氧化物把「对」的内部结构推到了台前。1993 至 1994 年，相位敏感的实验——用约瑟夫森结从晶体的不同晶面去比较配对波函数的符号——表明那里的对是 d 波的：波函数沿不同方向变号，像一片四叶草。

在中子星内部，中子与中子也被认为会配对成超流。1975 年安德森与伊藤提出，脉冲星偶尔突然加快自转，可能就是星内超流涡旋集体脱钩的结果。2011 年，仙后座 A 超新星遗迹中那颗中子星的快速冷却被解读为核心刚刚进入中子超流态，不过这一观测本身后来仍有争议。

最干净的检验发生在冷原子里。利用费什巴赫共振，实验者可以用磁场连续地调节原子之间的相互作用：一端是弱吸引，原子形成巨大的、彼此重叠的库珀对；另一端是强吸引，原子紧紧结成分子，然后发生玻色-爱因斯坦凝聚。2003 至 2004 年，美国实验天体物理联合研究所的金小组、麻省理工的凯特勒小组与因斯布鲁克的格里姆小组先后在费米原子气体里走通了这条路；2005 年，凯特勒小组在转动的气体里拍到了规则排列的涡旋格子，证明整个渡越区都是超流的。库珀在回忆录里说，这有点讽刺：人们如今可以连续地从 BCS 那种铺开的对，一路走到沙夫罗特当年设想的分子式的对。

如果没有它

没有「成对」这个概念，零电阻依然会在实验室里被测到，但它会一直是个无法解释的现象。超导磁体、SQUID 磁强计、约瑟夫森电压基准和超导量子比特，都要靠 $2e$ 这个电荷来设计和标定——约瑟夫森常数写作 $2e/h$，里面那个 2 就是库珀对。

更深的一层在于方法。库珀那一页多的论文说明，一个看似稳定的基态可以被任意微弱的扰动推翻，只要这个扰动作用在正确的地方；而这种失稳在微扰论里是看不见的。此后，原子核物理、天体物理、冷原子物理里的人遇到费米子体系，第一个要问的问题都变成了：它们会不会配对，以什么方式配对。