当时的困境
十八世纪初，人已经会算水从桶底的孔里射出来有多快——托里切利 1643 年给出的答案是，跟从同样高度自由落下一样快。水车、喷泉、城市供水都在用这类经验规则。
但规则之间没有桥。一根粗细变化的管子里，水到了细处流得更急，这是谁都看得见的事；管壁在细处受的压力是变大还是变小，没有定论，甚至没人觉得这两件事应该有关系。「压强」当时是静水里的概念——水深多少，底下就压多重；水一动起来，这个概念该怎么用，无人说得清。
麻烦的根子在于，那时还不知道该把牛顿定律用在流体的哪一部分上。你盯住的那团水下一刻就变了形，与旁边的水混在一起。一条能对任意流动求解的方程要再等二十年。
洞见时刻
丹尼尔·伯努利在圣彼得堡的七年里写完了《流体动力学》，1738 年在斯特拉斯堡印出。他绕开了「一小块水受什么力」这个当时无解的问题，改用莱布尼茨的活力原理——今天叫能量守恒。
做法是从惠更斯处理复摆学来的：不追每一步的力，只把整团水「下落了多少」与「获得了多少活力」配平。再加一条简化假设——管里的水是一片片平行推进的薄层。他把这套算法叫「流动流体的静力学」（hydraulico-statica），就写在第十二节里。
结论是那句话：水流得快的地方，压强更低，差的正是被拿去做动能的那一份。他还给了两个演示——在水平管上竖一根细管，或者让水从管上的小孔向上喷，水位都明显低于上游液面。
但这一行不是他写的。他讲的是管壁受到的压强，不是流体内部的压强；他的自变量是管截面与出水孔截面之比，而不是速度 。把三项相加为常数、并证明它就是流体运动方程沿一条流线的积分，是欧拉 1755 年那篇《流体运动的一般原理》里的事。
这也就划定了它的适用范围：定常流动、沿同一条流线、不计黏性。三个条件里任何一个不成立，这条定理就不能直接用——后世大多数「伯努利原理讲错了」的案例，都是在这三条上出的事。
涟漪效应
测速与测流量。 皮托 1732 年为测塞纳河的流速做过一根弯管，把管口正对来流；用伯努利关系一换算，管里多出来的那段水柱高度就是流速。今天每架飞机头上的空速管、每条工业管道上的文丘里流量计，用的都是这一步——测两处压强差，算出速度。文丘里管 1797 年问世，它同时还是喷射泵、化油器、氧气面罩混气装置的原理。
通风与烟囱。 屋顶上风吹过时压强低，屋里的浊气就被抽了出去；火车过站时站台上的人要退到黄线后，是因为车体带走的那层空气流速高、压强低，人会被推向车厢。这类日常现象第一次有了统一的解释。
血流。 血管局部变窄处流速升高、压强下降，严重时血管壁被「吸」得更扁——这是动脉狭窄会自我恶化的一个力学原因，也是心血管流体力学里最基本的一条。
机翼升力，以及那个著名的错误解释。 流行说法是：机翼上表面比下表面长，气流要「同时」到达后缘，所以走得快、压强低，于是有升力。美国航天局把这条叫作「最流行的错误升力理论」——错不在伯努利关系，而在那个前提：上下表面的气流本来就不会同时到达后缘，实测上表面的气流到得更早。正确的算法是解出真实的流场，再沿物面把压强积一圈；等价地，也可以看机翼把多少空气向下推、按牛顿第三定律算反作用。两种算法给出同一个答案，因为它们出自同一组守恒律。
它成了工程流体力学的起点。 今天从水泵扬程、管网水头损失、涡轮叶片到燃气动力学，第一步几乎都是写下这条能量关系，再往上加修正项——黏性损失、可压缩性、非定常项。
如果没有它
抽掉它，最直接的损失是「测量」。飞机没法知道自己飞多快——空速管是唯一不依赖外部信号的测速手段；管道里的流量也没法便宜地测，只能靠称重或计时。
工程上要退回全凭试错的年代：水泵、管网、通风井、喷嘴，每一次改动都得做一次实物试验，没有任何办法先在纸上估个数。
更根本的是，它是能量守恒第一次被写给连续介质。在它之前，能量守恒只用在质点与刚体上；伯努利证明了这件事对一条流线上的水同样成立。这一步之后，能量方法才成为处理连续介质的通用办法——从弹性力学到气体动力学，都是沿这条路往下走的。至于那个压强与动能可以互相换的图像，后来在电路（电压与电流）、在声学、在磁流体力学里反复出现，几乎成了物理学的一种通用直觉。