当时的困境
布洛赫 1928 年证明了一件漂亮的事：在完美周期的晶格里，电子的波函数铺满整块晶体，畅通无阻。金属的电阻不来自原子，而来自破坏周期性的东西。
那么反过来问：把周期性破坏得越来越厉害，会怎样？
直觉的答案是渐进的——散射多一点，平均自由程短一点，电阻大一点，如此而已。半导体工业当时正需要这个问题的答案：掺杂就是有意引入无序，而掺杂后材料的导电行为常常不符合简单预期。
更具体的触发是实验上的困惑。1950 年代有人发现，某些掺杂半导体里电子自旋的弛豫时间长得离谱——好像电子并没有像预期那样到处跑，而是待在原地。费赫尔把这些数据拿给安德森看。
洞见时刻
1958 年，安德森在贝尔实验室给出的答案比「电阻大一点」极端得多。
他考虑一个格点模型：每个格点上的势能不是相同的，而是在一定范围内随机取值。电子可以在相邻格点间跃迁。问题是：一个初始局限在某点的电子波包，长时间后会扩散开吗？
他证明：只要无序超过某个临界强度，就不会。波函数不再铺展，而是指数地局限在一小块区域里，尺度叫局域化长度。电子哪儿也去不了，材料因此绝缘。
关键在于这不是「被撞回来」那种经典图像。局域化是量子干涉的结果：电子从 A 到 B 有无数条路径，在随机势中这些路径的相位杂乱，向外传播的分量相互抵消，而回到原点的路径与它的时间反演路径相位始终相同，永远相长干涉。于是电子倾向于回到原地。
这也解释了它为什么对一切波都成立——干涉是波的普遍性质，与电子是不是带电、是不是费米子无关。
涟漪效应
这篇论文发表后十年几乎无人引用。它太抽象，而且当时无序体系被认为是「脏」问题，不入主流。安德森自己在诺贝尔演讲里说，这项工作长期被人认为是错的或者无关紧要的。
局面在 1970 年代改变。莫特把它用来解释非晶态半导体中的「迁移率边」——能带里存在一个分界能量，低于它的态是局域的，高于它的是扩展的，费米能穿过这个边时材料发生金属-绝缘体转变。1977 年安德森、莫特与范扶累克共享诺贝尔奖。
1979 年「四人帮」论文进一步指出：在一维和二维，任意弱的无序都足以让所有态局域化；只有三维才存在真正的相变。这个结论至今是无序体系理论的支柱。
随后它在别的波上被一一验证：微波在无序介质中被局域化、光在无序粉末中被局域化、声波、冷原子的物质波，甚至地震波。1980 年代之后，安德森局域化与量子霍尔效应的关系也被理清——量子霍尔平台之所以宽，正是因为杂质把大部分态局域化了，只有极少数扩展态参与导电。
如果没有它
半导体器件的尺寸不断缩小，到纳米量级时，材料里几个杂质原子的位置就能显著改变一个晶体管的行为——这正是局域化的领地。理解掺杂无序、界面粗糙、随机势起伏对载流子输运的影响，是当代器件设计绕不开的一环。
它还给了一个更普遍的教训：无序不是「理想情形的小修正」。在合适的条件下，无序会让体系进入一个性质完全不同的相。这个观念此后渗透进玻璃、自旋玻璃、多体局域化乃至量子信息的研究——一个系统会不会自己达到热平衡，答案有时是不会。安德森本人也留在了这条线上：1975 年他与爱德华兹写下自旋玻璃的第一个模型，四年后帕里西用复本对称破缺把它解开，得到的结论是无序加阻挫会让体系落进无穷多个互相嵌套的平衡态。